Questão 1:

(b) Utilize a Transformada de Laplace para calcular a seguinte integral impropria.

∫ 0 ∞ e - t 2 s e n 2 t   d t

Passo 1

Lembra que na Transformada de Laplace a gente está trocando

f t → F s

Certo? Nesse processo nós fazemos

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t   d t  

É assim que fazemos a transformação do domínio em t para o dompinio em s , certo?

Passo 2

Observa como a integral que nós temos já é bem parecido com esse processo aí, onde f t seria justamente f t = s e n 2 t  

Teríamos então

f t → F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t   d t

F s = ∫ 0 ∞ s e n 2 t e - s t   d t

Opa, isso já é praticamente o que nós estamos procurando, a única diferença é que se você for observar, s assumiu um valor

∫ 0 ∞ s e n 2 t e - s t   d t = ∫ 0 ∞ e - t 2 s e n 2 t   d t

Para essa igualdade ser real, precisamos de s = 1 2 concorda?

Passo 3

Calculando então a transformada de f t = s e n 2 t ,   temos por tabela

F s = 2 s 2 + 4

Só que o que queremos não é simplesmente o F s , mas sim o F 1 2

F 1 2 = 2 1 2 2 + 4 = 8 17

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∫ 0 ∞ f t e - s t   d t = F 1 2 = 8 17

Resposta

8 17

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