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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Transformada de Laplace

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 8d.

8. Calcule as transformadas de Laplace das funções dadas.

d) t c o s h ω t

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, estamos interessados em obter a transformada de Laplace da função f t = t c o s h ω t .

Como podemos fazer isso? 🤔

Para obter a transformação de uma função f t para F s usamos a integral de transformação

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Pra essa transformada existir, deve atender a uma regra: a função f t deve ser continua no intervalo 0 , ∞

Bora ver como é no nosso caso? 😁

Passo 2

Analisando a função f t , vemos que ela é continua em todo o intervalo, então vamos aplicar a integral de transformação.

F s = ∫ 0 ∞ t c o s h ω t e - s t d t

Aplicando o método de integração por partes, temos

u = t d v = c o s h ω t e - s t → d u = 1 v = - e - s t s c o s h ω t + ω s e n h ω t s 2 - ω 2

∫ t c o s h ω t e - s t d t = - t e - s t s c o s h ω t + ω s e n h ω t s 2 - ω 2 - ∫ - e - s t s c o s h ω t + ω s e n h ω t s 2 - ω 2 d t

∫ t c o s h ω t e - s t d t = - t e - s t s c o s h ω t + ω s e n h ω t s 2 - ω 2 - e - s t s 2 + ω 2 cosh ⁡ ω t + 2 s ω s e n h ω t s 2 - ω 2 2

Legal, né? 😁

Passo 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 ∞ t c o s h ω t e - s t d t = - ∞ e - s ∞ s c o s h ω ∞ + ω s e n h ω ∞ s 2 - ω 2 - e - s ∞ s 2 + ω 2 cosh ⁡ ω ∞ + 2 s ω s e n h ω ∞ s 2 - ω 2 2 - - 0 e - s 0 s c o s h ω 0 + ω s e n h ω 0 s 2 - ω 2 - e - s 0 s 2 + ω 2 cosh ⁡ ω 0 + 2 s ω s e n h ω 0 s 2 - ω 2 2

Sabemos que e - ∞ = s e n 0 = 0 e e 0 = cosh ⁡ 0 = 1 , portanto

∫ 0 ∞ t c o s h ω t e - s t d t = - ∞ 0 s c o s h ∞ + ω s e n h ∞ s 2 - ω 2 - 0 s 2 + ω 2 cosh ⁡ ∞ + 2 s ω s e n h ∞ s 2 - ω 2 2 - - 0 s c o s h 0 + ω s e n h 0 s 2 - ω 2 - s 2 + ω 2 cosh ⁡ 0 + 2 s ω s e n h 0 s 2 - ω 2 2

∫ 0 ∞ t c o s h ω t e - s t d t = - ∞ 0 - 0 - - 0 - s 2 + ω 2 s 2 - ω 2 2

F s = s 2 + ω 2 s 2 - ω 2 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

F s = s 2 + ω 2 s 2 - ω 2 2

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Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.22. f ( t ) t , 0 ≤ t1 0 ,1 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.25. ∫ 0 ∞ t 2 + 1 - 1d t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.28. ∫ 0 ∞ e - t c o s td t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.21. f ( t ) 1 , 0 ≤ tπ 0 ,π ≤ t∞