Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável a transformada é válida:
Passo 1
Começamos aplicando a transformada em toda a função:
E usamos a linearidade da transformada para separá-las:
Passo 2
Agora, vamos olhar para cada transformada que sobrou individualmente.
é uma transformada de polinômio. De maneira geral, temos:
Portanto, comparando, vemos que , assim:
Para a gente saber para quais valores o é válido, lembramos da definição da transformada:
Não precisamos calcular efetivamente a integral, só precisamos saber que se o que estiver na exponencial for maior ou igual que zero, a integral pode divergir. Então, substituímos nossa expressão:
Olhando para exponencial, vemos que o que está dentro dela vai ser menor que zero se , então esses são os valores válidos para integral. Portanto, vamos ter:
Show. Uma já foi.
Passo 3
Vamos ver agora . De maneira geral, vamos ter:
Assim, comparando, achamos , logo:
Seguindo a mesma ideia de antes, vamos ter:
Assim, para que o que está na exponencial seja negativo, precisamos:
Show, então:
Passo 4
Faltou agora
Para resolver esse problema. Vamos lembrar da regrinha da soma dos senos:
Então para , vamos ter:
Opa, já nos ajuda, então:
Por tabela, temos:
Então, comparando, vemos que e então:
Olhando para a definição:
Vemos que . Então vamos ter:
Passo 5
Agora justamos tudo que achamos:
Para o valor de , temos que pegar o caso mais restrito dentre aqueles que encontramos, que é justamente , então:
Prontinho 😊