UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 11a
Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
Faaaala galera, tudo bem com vocês?
Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):
Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?
Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:
Aplicar Laplace à EDO;
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);
Decompor a expressão de em frações parciais;
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.
Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:
Massa! Já substituímos . Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem :
Show! Vamos então aplicar essa fórmula em e em . Temos:
Substituindo os valores iniciais:
Boa! Vamos agora para :
Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:
Muito bom! Terminamos a primeira etapa.
Passo 3
Vamos agora para a segunda parte:
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esqueçer de substituir os valores iniciais que o problema deu);
Vamos trabalhar com a nossa expressão e isolar :
Excelente!
Passo 4
Estamos indoo...vai dar certo 😊
Decompor a expressão de em frações parciais;
No passo anterior encontramos:
Para separar em frações parciais, devemos primeiro descobrir as raízes do denominador.
Por inspeção, temos e . Daí, pra separar por frações parciais podemos fazer:
Daí manipulando o lado direito da nossa expressão, temos:
Daí, como:
Podemos igualar os polinômios do numerador:
Portanto:
Logo:
Ou seja, a separação em frações parciais nos dá:
É isso galera! Tudo tranquilo até aqui?
Passo 5
Agora a nossa última etapa é reconhecer qual a função cuja transformada de Laplace é o que encontramos na expressão anterior. Temos:
Qual a função cuja transformada nos dá algo parecido com isso?
Olha aí, que parecido! Na primeira fração parcial temos , ou seja:
E, na segunda fração parcial, quando temos:
Portanto, temos:
Novamente, pela linearidade, juntando tudo temos:
Ou sejaaa:
Uhuuul! Conseguimos pessoal!
E aí, curtiram a solução? Responde Aí!