UTFPR– Equações Diferenciais – Lista 1 – Questão 1c
Nos problemas de até , use a definição de transformada de Laplace para calcular
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui
A transformada de Laplace é
Então a ideia é aplicar essa definição na função dada, calcular a integral em e aplicar nos limites de integração! O resultado será uma função em ! Não esqueça disso!
Bora lá!
Passo 2
Nossa função é definida por partes, então vamos separar nossa integral conforme o domínio das partes da função
Aí nossa integral fica assim
Nossa missão agora é resolver essa integral!
Passo 3
Integrando em temos
Temos um produto de um seno por uma exponencial, então vamos usar a integração por partes:
E agora aplicando a fórmula
ué! Temos outra integral?
Agora precisamos calcular essa segunda integral! Ela é cíclica (por ser o produto de um seno/cosseno por exponencial), então estamos no caminho certo! Aplicando por partes novamente
Aí temos
Vamos agrupar as duas integrais iguais e temos nosso resultado!
E por fim isolar a integral
E é isso! Até a próxima!