UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Fundamentos Matemáticos da Física B - Listas de Exercícios 5, Questão 11g
Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
Oiie, tudo bem com você?
Temos que resolver o seguinte PVI
temos que fazer isso usando transformada de laplace. O segredo aqui é aplicar transformada de laplace em toda a equação diferencial e usar a seguinte identificação para a transformada de uma derivada
em que . Isso vai nos levar para um problema algébrico e iremos poder obter de volta a nossa solução aplicando uma transformada inversa! Mas, vamos com calma! Quando precisar eu apresento as outras transformadas que serão úteis! Vem comigo!
Passo 2
Aplicando a transformada em toda a equação diferencial, temos que
usando a fórmula da transformada da derivada, temos que
Aplicando as condições iniciais dadas, temos que
de forma que podemos isolar como
ou simplesmente
Ou seja, o nosso resultado final é a transformada inversa do que temos aí em cima! Mas antes de conseguirmos identificar o resultado! Precisamos retrabalhar todo esse lado direito! Vem comigo!
Passo 3
Distribuindo o denominador da seguinte maneira
podemos reduzir esse denominador comum da seguinte maneira
e o numerador do primeiro termo pode ser escrito como
de forma que o nosso problema se reduz à
Vamos tentar reescrevê-los usando frações parciais! Saca só!
Passo 4
Em frações parciais temos que essa relação se torna
multiplicando os dois lados por , temos a seguinte relação
temos que distribuir todos estes produtos, de forma que obtemos
ou seja, para que os coeficientes do lado esquerdo e direito sejam iguais, devemos respeitar o seguinte sistema de equações lineares
Bora resolver o sistema linear agora para encontrar essas constantes!
Passo 5
Da primeira equação temos que , portanto, as outras se tornam
Se somarmos a equação (2) com a (3), obtemos que , portanto, . Agora, somando a segunda e quarta equação, temos que , ou seja, em conjunto, temos que e . De forma que usando a segunda equação, temos que
de forma que e finalmente, temos que . Usando esse resultado, podemos escrever então que
e, a nossa equação diferencial se torna uma enorme soma de termos! Vamos resolver eles um a um! Vem comigo!
Passo 6
Agora, precisamos reescrever o outro termo como
multiplicando tudo por , temos que
distribuindo os produtos temos
gerando o seguinte sistema linear
Fazendo um processo análogo ao outro sistema, podemos obter as constantes como , e , portanto, temos que
Maravilha! Com isso vamos conseguir finalmente resolver o nosso PVI!
Passo 7
Como reescrever todos os termos da equação diferencial irá ficar uma bagunça, vamos trabalhar com cada termo por vez. Começando com o termo
Todos estes termos são transformadas de Laplace tabeladas de funções conhecidas. As suas inversas podem ser obtidas através das fórmulas
e, também
da primeira fórmula podemos ler que
e
e, da segunda fórmula, podemos ler que
ÓTIMO! Guarde esses resultados! Vamos precisar deles para escrever nosso resultado final! Vamos para o outro termo agora!
Passo 8
Temos que resolver agora o termo da forma
usando a transformação em frações parciais feita antes, temos que
todos esses termos são produtos de transformadas de laplace, portanto, a sua inversa será dada por
note que e, portanto, temos que . E, temos diferentes para cada termo, usando as fórmulas que apresentei no passo anterior, temos que
, , e
ou seja, o nosso resultado é obtido através das integrais
podemos juntar isso como uma grande integral
resolver isso é uma questão de paciência e integrações por partes! (Uma dica que eu dou é que elas são cíclicas) Eu vou deixar a resposta por aqui pois usualmente não precisamos resolver as convoluções neste tipo de problema! O nosso resultado final é tal que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!