UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas - Prof. Marcio Hiran Simões - Lista 1, Questão 1h
Nos problemas de até , use a definição de transformada de Laplace para calcular
Passo 1
Olá gente bonita, tudo certinho por aí?
Nesse probleminha recebemos uma função dada por:
E, precisamos calcular a transformada de Laplace de usando a definição.
Vocês lembram a definição da transformada de Laplace?
Basicamente, ela diz que:
Massa!
Então, no caso desse item, precisaremos resolver a integral:
Perfeito! Vamo nessa pessoal!!
Passo 2
Bom, precisamos resolver a seguinte integral imprópria:
Pela própria definição de integral imprópria, temos que isso equivale a calcular:
Excelente! Vamos buscar primeiro resolver a integral dentro do limite, e depois aplicamos ele na função.
Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Lembram dele? Bora dar uma revisada:
Assim, fazendo:
Logo:
Substituindo na equação do método, temos:
Puts, precisamos resolver outra integral! Para calcular:
Podemos usar novamente o método de integração por partes. Vamos ter:
Vamos ter:
Daí, ficamos com:
Substituindo esse resultado na primeira equação do método de integração por partes, temos:
Eita, apareceu a mesma integral nos dois lados da igualdade. Vamos então isolá-la:
Logo:
Perfeito!
Passo 3
Bom galera, agora que encontramos o valor da integral, podemos aplicar o limite:
Colocando os termos que não dependem de para fora do limite, vamos ter:
Todos os termos que depende da exponencial de irão zerar quando . Assim, teremos que:
Excelente! Encontramos, portanto que:
É isso aí galera! Espero que vocês tenham curtido a solução!
Até a próxima 😊