UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas - Prof. Marcio Hiran Simões - Lista 1, Questão 1g
Nos problemas de até , use a definição de transformada de Laplace para calcular
Passo 1
Fala aí galera, tudo na paz com vocês??
Nesse probleminha recebemos uma função dada por:
E, precisamos calcular a transformada de Laplace de usando a definição.
Vocês lembram a definição da transformada de Laplace?
Basicamente, ela diz que:
Massa!
Então, no caso desse item, precisaremos resolver a integral:
Perfeito! Vamo nessa pessoal!!
Passo 2
Nossa missão é calcular a integral imprópria:
Pra calcular esse tipo de integral precisamos aplicar um limite, vai ficar assim:
Ou seja, primeiro calculamos a integral colocando o limite superior como uma variável . E, depois calcularmos esse o limite dessa expressão quando tende ao infinito.
Temos:
Pra calcular essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Lembram dele? Bora dar uma revisada:
Assim, fazendo:
Daí:
Substituindo na nossa fórmula, vamos ter:
Massa! O problema é que essa segunda integral ainda não tá bonita como gostaríamos. Então, vamos precisar aplicar o método da integração por partes novamente:
Vamos fazer:
Logo:
Substituindo, vamos ter:
Perfeito, substituindo esse resultado na equação principal, temos:
Massa!
Passo 3
Voltando para o nosso limite, temos:
Mas, já calculamos a integral, então temos:
Aqui precisamos nos ligar em um detalhe bem pertinente. Se considerarmos que , a nossa função tenderia pro infinito, e não conseguiríamos encontrar .
Mas, se lembrarmos direitinho:
Ou seja, é uma variável. Então, podemos considerar seu domínio para , e assim temos que calcular o seguinte limite:
Com . Daí, todos os limites envolvendo a exponencial de vão para zero, pois tende pro infinito. Logo, vai sobrar apenas:
Portanto, concluímos que:
Prontinho galera! Curtiram a solução? Responde Aí!
Até a próxima 😊