UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais B, Listas de EDB - Profª Aniura Milanés - Exercícios de EDB - 2021.1, Questão 56c
Sejam e funções harmônicas (i.e soluões da equação de Laplace).
Dê um exemplo de duas funções harmônicas cujo produto não seja uma função harmônica.
Passo 1
E aí gente, tudo certinho com vocês?
Nessa questão o enunciado nos pede para escolher duas funções, e que sejam harmônicas, isto é, que obedeçam a equação de Laplace:
Mas, cujo produto não resulte em uma função harmônica.
Uma ideia legal pra responder essa pergunta é pensar nas funções polinomiais.
Como na equação de Laplace estamos calculando apenas a segunda derivada, se tomarmos polinômios com grau maior ou igual a em suas variáveis, a derivação não será suficiente pra anular esses termos.
Assim, vamos pensar em dois polinômios de grau em duas variáveis, que com certeza já serão harmônicos. Mas que, quando multiplicados, resultam em um polinômio de grau que não será harmônico.
Vem com a gente que vai ficar mais claro 😊
Passo 2
Podemos tomar por exemplo:
Assim, é bem claro que tanto como são harmônicos, pois:
Analogamente:
Massa! Vamos agora analisar se o seu produto também é harmônico.
Vamos então calcular as suas derivadas.
Com relação a :
Derivando novamente:
Agora derivando com relação a :
Derivando mais uma vez:
Assim, substituindo na equação de Laplace, ficamos com:
Portanto, a equação de Laplace não é satisfeita, e:
Isto é, o produto de duas funções harmônicas, não é harmônica!
Prontinho pessoal, muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.