UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 11e
Determine a solução do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
Fala aí galera, tudo bem?
Nessa questão temos uma EDO no famoso problema de valor inicial (PVI):
Para resolver esse PVI devemos usar a transformada de Laplace. Vocês lembram como podemos fazer isso?
Então gente, a ideia é seguir algumas etapas bem tranquilas, tipo uma receita de bolo. Se liga só:
Aplicar Laplace à EDO;
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esquecer de substituir os valores iniciais que o problema deu);
Decompor a expressão de em frações parciais;
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Perfeito galera! Agora que já vimos o bizu é só colocar a mão na massa!
Vem comigo 😊
Passo 2
Bom, a primeira etapa é aplicar a transformada de Laplace à nossa EDO.
Pela linearidade da transformada de Laplace, podemos separar essa subtração no lado esquerdo:
Massa!
Agora, vamos lembrar a expressão da transformada de Laplace para uma derivada de ordem :
Show! Vamos então aplicar essa fórmula em e em . Temos:
Substituindo os valores iniciais:
Boa!
Substituindo esses dois resultados na nossa EDO:
Precisamos calcular a transformada da função do lado direito da igualdade. Lembrando que:
Logo:
Substituindo na EDO, ficamos com:
Perfeito! Muito bom pessoal!
Passo 3
Vamos para a próxima etapa!
Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de :
No passo anterior, encontramos:
Daí, isolando , vem:
Daí, podemos usar um truque bem legal nesse numerador. Se liga só:
Colocando em evidência:
Substituindo esse resultado na fração toda, temos:
Isolando :
Prontinho!
Passo 4
Decompor a expressão de em frações parciais:
Temos:
Olha que lindo! Nossa expressão já está decomposta em frações parciais. Então, podemos ir para o próximo passo! 😊
Excelente!
Passo 5
Reconhecer funções por suas transformadas, para identificar a partir da expressão encontrada na etapa anterior.
Bom, encontramos que:
Quais funções possuem essas transformadas?
Para o primeiro termo, temos:
Daí, fazendo , temos:
Perfeito, já sabemos então qual função gera o primeiro termo. No segundo termo temos:
Podemos usar que:
Daí, fazendo , temos:
Por fim, temos o termo:
Pra encontrar a função que gera ele, vamos precisar realmente conhecer nossa tabelinha de transformada de Laplace muito bem. Pois:
Muito bom, a partir disso, podemos escrever que:
E, quando , vem:
Perfeito! Juntando tudo e usando a linearidade da transformação, vem que:
Portanto:
Muito bom pessoal! Matamos mais uma questaozita!
Até a próxima 😊