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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo III, P1 - Profº Claudio Plinio - 2019.2, Questão 2b

Calcule o comprimento de arco da curva

r ( t ) = t ² 2 + t î + t ² 2 - t ĵ + 2 2 l n ( t )   k ,   1 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente calcular o comprimento de arco da curva r(t) parametrizada por um parâmetro t, no intervalo [1,2]. Para isso, a gente precisa calcular deslocamentos infinitesimais nas direções x, y e z em um deslocamento ao longo da curva r(t). Como as componentes do deslocamento são dadas pela função r(t), temos

d x = d x d t d t = ( t + 1 ) d t

d y = d y d t d t = ( t - 1 ) d t

d z = d x d t d t = 2 2 1 t d t

Então, pelo teorema de pitágoras, o comprimento de um deslocamento infinitesimal é simplesmente

d l = ( d x ) ² + ( d y ) ² + ( d z ) ² = ( t + 1 ) ² d t ² + ( t - 1 ) ² d t ² + 2 2 t ² d t ²

= ( t + 1 ) ² + ( t - 1 ) ² + 2 2 t ² d t

Então, o comprimento da curva é simplesmente a soma de todos os elementos infinitesimais desde t = 1 até t =2, ou seja, a integral da função acima! Então bora lá integrar essa função!

Passo 2

O comprimento da curva é dado pela integral

∫ 1 2 ( t + 1 ) ² + ( t - 1 ) ² + 2 2 t ² d t

Como ( t + 1 ) ²   + ( t - 1 ) ² = 2 ( t ² + 1 ) , podemos reescrever a integral acima como

∫ 1 2 2 ( t ² + 1 ) + 1 2 t ² d t

Colocando o termo 1 2 t ² em evidência, obtemos

∫ 1 2 1 2 t 4 t ⁴ + 4 t ² + 1 d t = ∫ 1 2 1 2 t ( 2 t ² + 1 ) ² d t = 1 2 ∫ 1 2 2 t + 1 t d t = 1 2 t ² + l n t

Calculando essa função nos limites do intervalo [1,2] obtemos

1 2 2 ² + l n 2 - ( 1 ² + l n 1 ) = 4 + l n ( 2 ) 2 - 1 2 = 3 + l n ( 2 ) 2

Então, o comprimento da curva r(t) de t igual à 1 até t igual à 2 é 3 + l n ( 2 ) 2 .

Resposta

3 + l n ( 2 ) 2

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