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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 16d.

16 - Determine o comprimento das curvas:

d) x = y 3 6 + 1 2 y de y = 2 a y = 3 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos que obter o comprimento da curva dada por x = y 3 6 + 1 4 y em que y varia de 2 a 3 .

Sabemos obter o comprimento de uma curva parametrizada a partir do seu vetor de parametrização r t , mas do jeito que nossa curva está não podemos obter o comprimento.

Então podemos parametrizar essa curva para aplicar o método que sabemos!

O que você acha? 😉

Relembrando como fazemos para calcular um comprimento de uma curva...

Temos que seguir a formulinha dada por

C = ∫ t i t f r ' t d t

Em que t i e t f são os limites em que t varia e C é o comprimento que queremos.

Podemos começar agora! 😁

Passo 2

Primeiramente, vamos parametrizar a curva para obter o seu vetor paramétrico r t .

Fazemos y como t , temos que

x t = t 3 6 + 1 2 t ,   y t = t

Como r t é dado por r t = x t , y t , então

r t = t 3 6 + 1 2 t , t

Com o vetor paramétrico obtido, vamos derivá-lo para obter r ' t .

r ' t = d t 3 6 + 1 2 t d t , d t d t

Pelo método de derivação polinomial, podemos obter a derivada de t 3 6 + 1 2 t passando t do segundo termo para o numerador.

d t 3 6 + 1 2 t d t = d t 3 6 + t - 1 4 d t

d t 3 6 + t - 1 2 d t = 3 t 3 - 1 6 + - 1 t - 1 - 1 2 = t 2 2 - t - 2 2

d t 3 6 + t - 1 2 d t = t 2 2 - 1 2 t 2

Já a derivada de t é obtida da mesma forma

d t d t = t 1 - 1 = 1

Substituindo esses resultados em r ' t , temos

r ' t = d t 3 6 + 1 2 t d t , d t d t ,     d t 3 6 + t - 1 2 d t = t 2 2 - 1 2 t 2 d t d t = 1

r ' t = t 2 2 - 1 2 t 2 , 1

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora temos que obter o módulo do vetor r ' t . Ele pode ser obtido pela mesma maneira que um vetor comum, ou seja

r ' t = t 2 2 - 1 2 t 2 2 + 1 2

Simplificando t 2 2 - 1 2 t 2 , temos

t 2 2 - 1 2 t 2 = t 4 - 1 2 t 2

Fazendo essa substituição...

r ' t = t 4 - 1 2 t 2 2 + 1 2

Como a b c = a c b c , então

r ' t = t 4 - 1 2 2 t 2 2 + 1

Fazendo a b c = a c b c e calculando a distributiva de 2 t 4 - 1 2 ...

r ' t = t 8 - 2 t 4 + 1 4 t 4 + 1 = t 8 - 2 t 4 + 1 + 4 t 4 4 t 4

r ' t = t 8 + 2 t 4 + 1 4 t 4 = t 8 + 2 t 4 + 1 4 t 4

Simplificando um pouco mais, podemos dizer que t 8 + 2 t 4 + 1 = t 4 + 1 2 e 4 t 4 = 2 t 2

Logo...

r ' t = t 4 + 1 2 2 t 2

r ' t = t 4 + 1 2 t 2

Agora sim podemos aplicar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada! Partiu!

Passo 4

A fórmula é dada por

C = ∫ t i t f r ' t d t

Se r ' t = t 4 + 1 2 t 2 , t i = 2 e t f = 3 , já que y = t , então

C = ∫ 2 3 t 4 + 1 2 t 2 d t = ∫ 2 3 t 2 2 + 1 2 t 2 d t

Pelo método de integração polinomial, parrando t ² para o numerador em 1 2 t 2 , temos

∫ t 2 2 + t - 2 2 d t = t 2 + 1 2 2 + 1 + t - 2 + 1 2 - 2 + 1 = t 3 6 - t - 1 2

∫ t 2 2 + 1 2 t 2 d t = t 3 6 - 1 2 t

Aplicando os limites de integração

C = ∫ 2 3 t 2 2 + 1 2 t 2 d t = 3 3 6 - 1 2 3 - 2 3 6 - 1 2 2

C = 27 6 - 1 6 - 8 6 - 1 4

C = 13 4

Com isso, vemos que o comprimento da curva é dado por 13 / 4 unidades!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

C = 13 4

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