UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 16e.
16 - Determine o comprimento das curvas:
e) , .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema temos que obter o comprimento da curva dada por dentro do intervalo de entre e .
Para resolver esse problema temos que usar o método de obter o comprimento de curvas parametrizadas, ou seja, temos que parametrizar a curva e aplicar a fórmula.
Lembra como aplicamos esse método?? 🤔
A fórmula do comprimento da curva é dada por
Portanto, temos que parametrizar a curva para obter o seu vetor paramétrico , depois temos que derivá-lo para obter e por fim calcular seu modulo para obter .
Bora começar! 😁
Passo 2
Se fizermos , a curva será dada por
Como o vetor paramétrico é dado por , então
Agora temos que obter a derivada de ...
A derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial, ou seja
Já a derivada de é obtida pela regra da cadeia, já que essa é uma função composta. Chamando a função interna de e a função externa de , a regra da cadeia consiste em calcular o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo na derivada de ...
Não podemos deixar o resultado em função de , então substituímos por de volta
Dessa forma, substituindo os resultados em , temos
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos obter o modulo do vetor . Obtemos esse vetor do mesmo modo que obtemos um vetor comum, ou seja
Como , então...
Simplificando...
Substituindo em , lembrando que e são os limites de que estamos interessados, ou seja, como , e .
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de é igual ao . Recorremos ao teorema quando não podemos obter as integrais ou derivadas por meio dos métodos convencionais...
Aplicando os limites de integração, temos
Ou seja, encontramos que o comprimento da curva que estávamos interessados é unidades!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
