UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 16a.
16 - Determine o comprimento das curvas:
a) de a .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, temos que obter o comprimento da curva em que varia de até . Infelizmente não podemos substituir por e por e calcular a diferença entre eles, mas podemos usar um método conhecido tem ideia de qual método seja? 🤔
Sabemos obter o comprimento de uma curva parametrizada tendo , que é o vetor paramétrico da curva. Então se parametrizarmos a curva fazendo , será dado por
Com variando de a , já que ...
Dessa maneira o vetor paramétrico é dado por
Bora ver como fazemos esse cálculo? 😁
Passo 2
De maneira geral, o comprimento de uma curva parametrizada é dado por
Já sabemos qual é , então o próximo passo é derivá-lo
A derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial
Já a derivada de é obtida pela regra da cadeia já que se trata de uma função composta. A função de dentro, chamamos de e é já a função de fora é dada por .
Aplicando a regra da cadeia, calculamos o produto da derivada de função de dentro com a derivada da função de fora, ou seja
Pelo método de derivação polinomial, temos que
Não podemos deixar o resultado em função de , então voltamos para
Substituindo esses resultados em ...
Bacana, não é? 🤩
Passo 3
O próximo passo é calcular o módulo de . Calculamos o módulo desse vetor do mesmo jeito que um vetor comum
Como , então
Podemos simplificar nosso modulo um pouco mais completando os quadrados do polinômio . Podemos dizer que
Assim, substituindo em , temos
Substituindo em e sabendo que e ...
Pelo método de integração polinomial, temos que
Aplicando os limites de integração
Assim, vemos que o comprimento da curva que estamos interessados é de unidades!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
