Determine o comprimento da astroïde parametrizada por
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vou chamar a parametrização do astroïde de , beleza? Assim .
Então nessa questão precisamos calcular o comprimento de arco de entre os tempos e ! Aplicando a fórmula, temos
Então vamos calcular essa derivada! Com a regra da cadeia, vamos ter
Logo:
E como , isso vai dar
Passo 2
Excelente! Agora basta calcular a integral:
Vamos fazer
Então o comprimento é:
Passo 3
Temos que analisar o sinal de de a :
Logo, a integral pode ser dividida em:
Passo 4
Vou calcular os termos separadamente pra não ficar muito confuso, beleza?
Ufa! Então o comprimento é:
Aee, então a alternativa certa é a (c)!
Resposta
Alternativa (c)