UnB; Cálculo 1; Lista de Exercícios – Semana 15; “Integração por frações parciais; Comprimento de arco”; Exercício 1c
1) Se é uma função derivável então o comprimento da curva determinada pelo gráfico de é dado pela integral . Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
c) , para
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse enunciado nos pede o cálculo do comprimento da curva sob o seguinte argumento:
Analisando esse argumento, temos alguns termos ainda não definidos, não é mesmo?
O primeiro deles é o .
Isso mesmo! Esse termo nada mais é que a derivada de elevado ao quadrado.
O segundo termo não definindo ainda são as letras e , intervalo da nossa integral.
Esse intervalo precisa ser exatamente o mesmo do domínio de , já que para conseguirmos integrar, não poderíamos utilizar algum valor que não serve em .
Perfeito!
Agora vamos começar a definir .
Passo 2
Nesse passo, vamos começar com a derivada de :
Usaremos para reescrevermos a função, então:
Agora diferenciaremos usando a regra da cadeira.
Você lembra dessa regra? Vamos relembrar...
Para o nosso exemplo,
e
Então, aplicando à regra:
Nesse passo ainda, já vamos aplicar :
Portanto:
Passo 3
Agora vamos definir :
E vamos relembrar de aplicar e , intervalos da nossa integral:
Primeiro, vamos calcular o MMC dentro do radicando:
Portanto:
Isso é o mesmo que:
Olha só que bacana! Essa integral é conhecida e é uma substituição direta:
Como é uma integral definida, vamos aplicar:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?