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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

O comprimento da curva dada por r t = sen ⁡ t cos ⁡ t , sen 2 ⁡ t ,   t 2 , com 0 ≤ t ≤ 3 é:

  1. 3
  2. 2 3
  3. 2 2
  4. 3 3
  5. 3 2

Passo 1

Precisamos achar o comprimento da curva, então vamos usar a fórmula:

L = ∫ t 1 t 2 ‖ r ' t ‖ d t

E achar o valor de L . Vamos lá!

Passo 2

Temos que 0 ≤ t ≤ 3 . Logo o t   inicial é 0 e o t final é 3.

t 1 = 0 ,     t 2 = 3

Passo 3

Vamos calcular o vetor tangente a r ( t ) :

r t = sen ⁡ t cos ⁡ t , sen 2 ⁡ t ,   t 2

Calculando a derivada de cada componente, separadamente:

sen ⁡ t cos ⁡ t ' = cos ⁡ t cos ⁡ t + sen ⁡ t ( - sen ⁡ t ) = cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t

sen 2 ⁡ t ' = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

t 2 ' = 2

Logo:

r ' t = cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ,   2

Passo 4

Precisamos do módulo de r ' t = cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t , 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ,   2 . Logo:

r ' t = cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t 2 +   2

Ih vamos ter que abrir o produto notável:

cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t 2 = cos 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 4 ⁡ t

Voltando para o módulo:

r ' t = cos 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 4 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t +   2 = cos 4 ⁡ t + sen 4 ⁡ t + 2 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t +   2    

Agora é um momento de fazer uma observação muito importante:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 2 = cos 4 ⁡ t + 2 sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 4 ⁡ t

E esse produto notável é a expressão que está dentro da nossa raiz! Então fica assim, substituindo lá:

r ' t = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t 2 +   2 = 1 2 + 2 = 3

Passo 5

Beleza. Ainda não acabou. Calma. Só falta jogar tudo o que a gente achou na fórmula de L :

L = ∫ t 1 t 2 ‖ r ' t ‖ d t

L = ∫ 0 3 3   d t = 3 3

Logo, nossa resposta é a letra d.

Resposta

Letra d

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