Qual o valor de A > 0 de modo que o comprimento da curva parametrizada por

r(t) = (t * cos(t), t * sen(t), 2/3 * raiz(2) * t^(3/2)), t ∈ [0, A]

Seja igual a 4 ?

  1. 2
  2. 2 * pi
  3. 3 / 2
  4. 4
  5. pi

Passo 1

O comprimento da curva é dado por

L = ∫ t 1 t 2 r ' ( t )   d t

No nosso caso, temos t 1 = 0 , t 2 = A e L = 4

L = ∫ 0 A r ' ( t )   d t = 4

Assim, nossa basta que a gente resolva essa integral e a nossa incógnita será t 2 = A .

Passo 2

Vamos calcular r ' ( t ) :

r t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t , 2 3 2 t 3 2

r ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t ,   sen ⁡ t + t cos ⁡ t , 3 2 ∙ 2 3 2 t 1 2

r ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t ,   sen ⁡ t + t cos ⁡ t , 2 t

Passo 3

Calculando r ' ( t ) :

r ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + t cos ⁡ t 2 + 2 t 2

r ' t = cos 2 ⁡ t - 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + t 2 sen 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ t + 2 t

r ' t = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + t 2 sen 2 ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ t + 2 t

r ' t = 1 + t 2 ( sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t ) + 2 t

r ' t = 1 + t 2 + 2 t

E isso é a cara de um produto notável, olha só

r ' t = 1 + t 2

r ' t = 1 + t

Passo 4

Substituindo tudo na igualdade do comprimento:

L = ∫ 0 A r ' ( t )   d t = 4

L = ∫ 0 A ( 1 + t )   d t = 4

Opa, maravilha, essa integral é “piece of cake”

L = t + t 2 2 = 4

Calculando isso de 0 até A :

L = A + A 2 2 - 0 + 0 2 2 = 4

L = A + A 2 2 = 4

A 2 2 + A - 4 = 0

Passo 5

Resolvendo essa equação do segundo grau:

A = - 1 ± 1 2 - 4 . 1 2 . ( - 4 ) 2 . 1 2

A = - 1 ± 1 + 8 1

A = - 1 ± 3

Mas, o enunciado diz pra gente que A > 0 , assim

A = - 1 + 3 = 2

Resposta

L e t r a   a

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