Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 3, Exercício 13
(Cap. 13.3 - Ex. 13) Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde na direção crescente de .
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!
O objetivo desse exercício aqui, é parametrizar a curva, a partir do valor que encontrarmos do comprimento de arco. Esse comprimento de arco, será calculado a partir da equação que foi dada no enunciado.
Então, o primeiro passo para começarmos esse exercício aqui, é calcular a derivada da curva dada, uma vez que a fórmula do comprimento de arco se dá por:
Então, temos que a derivada de é:
Agora, precisamos calcular o módulo dessa derivada.
Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que o módulo da raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos termos da curva derivada.
Em termos de equação, vamos ter:
Então, substituindo os valores na fórmula acima, temos que:
Pronto! Já temos o nosso módulo. Vamos continuar?
Passo 2
Substituindo o módulo na função comprimento de arco temos que:
Passo 3
Do Passo 2, obtemos:
Substituindo na equação vetorial original da curva, obtemos a reparametrização da curva que foi pedido no exercício:
Uhul! Conseguimos!
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma então??