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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

Considere a curva C parametrizada por r t = t 2 , sen ⁡ t - t cos ⁡ t , cos ⁡ t + t sen ⁡ t ,           t ∈ - 1,1 .

O comprimento de C é:

  1. 2 5
  2. 5
  3. 0
  4. 1 6
  5. 7 6

Passo 1

O comprimento da curva é dado pela fórmula

L = ∫ t 1 t 2 r ' ( t )   d t

Os valores de t 1 e t 2 a questão já deu pra gente:

t 1 = - 1 t 2 = 1

Passo 2

Agora vamos calcular r ' ( t ) :

r t = t 2 , sen ⁡ t - t cos ⁡ t , cos ⁡ t + t sen ⁡ t

r ' t = 2 t , cos ⁡ t - cos ⁡ t + t sen ⁡ t ,   - sen ⁡ t + sen ⁡ t - t cos ⁡ t

r ' t = 2 t ,   t sen ⁡ t ,   - t cos ⁡ t

Passo 3

Calcular r ' ( t ) :

r ' ( t ) = 2 t 2 +   t sen ⁡ t 2 + - t cos ⁡ t 2

r ' ( t ) = 4 t 2 + t 2 sen 2 ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ t

r ' ( t ) = 4 t 2 + t 2 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

r ' ( t ) = 5 t 2

r ' ( t ) = t 5

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula de L :

L = ∫ t 1 t 2 r ' ( t )   d t

⇒ L = ∫ - 1 1 t 5   d t

Calculemos então a integral indefinida:

∫ t 5   d t = t 2 5 2

Substituindo na integral definida:

L = 1 2 5 2 - - 1 2 5 2

L = 1 2 5 2 - - - 1 2 5 2

⇒ L = 5 2 + 5 2

⇒ L = 5  

Resposta

L e t r a   b

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