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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

Comprimento de arco

Dada a curva Γ definida por r → t = e t cos ⁡ t ,   e t sen ⁡ t ,   e t , t ≥ 0 .

Determine o comprimento da curva quando t varia de 0 até 1 .

Passo 1

L = ∫ t 1 t 2 r → ' ( t ) d t

Encontrar t 1 e t 2 :

O problema já nos disse entre quais tempos queremos calcular o comprimento de arco:

t 1 = 0   t 2 = 1

Passo 2

Calcular r → ' ( t ) :

r → ' t = cos ⁡ t - sin ⁡ t e t , sin ⁡ t + cos ⁡ t e t , e t

Passo 3

Calcular r → ' ( t ) :

r → ' ( t ) = cos ⁡ t - sen ⁡ t e t 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t e t 2 + e t 2

r → ' ( t ) = cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 e 2 t + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 e 2 t + e 2 t

r → ' ( t ) = ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 - 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ) e 2 t + ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 + 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ) e 2 t + e 2 t

r → ' ( t ) = 1 + 1 + 1 e 2 t

r → ' ( t ) = 3 e t

Passo 4

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 r → ' ( t ) d t

⇒ L = ∫ 0 1 3 e t d t

⇒ L = 3 ∫ 0 1 e t d t

⇒ L = 3   ( e 1 - e 0 )

⇒ L = 3 ( e - 1 )

Resposta

L = 3 ( e - 1 )

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