Origem do Exercício
Encontre o comprimento da curva de a .
Passo 1
Beleza, nossa curva já está parametrizada. Vamos lembrar da fórmula para o comprimento de uma curva como essa, que vai de um ponto até :
Tudo bem, o primeiro passo é derivar a curva para calcular o .
Lembre-se de que, para derivar um vetor, é só derivar cada uma das componentes:
Começamos com a derivada da componente (sempre em relação a ):
Na componente :
E na :
E agora é só juntar tudo:
Passo 2
Olhando de novo para a fórmula que colocamos lá em cima, vemos que agora precisamos calcular a norma dessa derivada. Lembra como se calcula a norma de um vetor?
É só seguir esse procedimento para o caso do , aí vamos achar o seguinte:
Vamos colocar o em evidência dentro da raiz:
E então:
Beleza, já temos quase tudo para resolver a integral.
Passo 3
O último passo é descobrir quem são os pontos e (que são os valores inicial e final de , respectivamente).
Bom, a gente sabe que a curva começa no ponto . Qual é o valor de nesse ponto?
Escrevemos o vetor na forma de parênteses, ao invés de usar os , porque fica mais fácil de entender.
Bom, isso é um sistema bem tranquilo de resolver. Temos duas equações distintas:
E a primeira equação já dá a resposta, porque só aceita uma solução:
E esse vai ser o ponto inicial da nossa integral, . Agora vamos ver o ponto final!
A gente sabe que a curva termina no ponto , vamos fazer o mesmo esquema de antes:
Mais uma vez, a primeira equação já dá resposta, porque só aceita uma solução:
E esse vai ser nosso ponto final! .
Passo 4
Agora já temos tudo pra resolver a integral, é só substituir:
Essa não é uma integral tão fácil, vamos precisar de um método especial para resolvê-la: substituição trigonométrica. Isso quer dizer que vamos substituir por alguma função trigonométrica que seja útil!
Por exemplo, se fizermos:
O da integral vai ficar assim:
Quando colocarmos tudo isso na integral:
Vamos tirar o de dentro da primeira raiz:
E agora usamos aquela identidade trigonométrica :
E agora temos que resolver essa integral. (Omitimos os limites de integração de propósito para simplificar a conta, podemos coloca-los de volta depois)
Passo 5
Então beleza, estamos focando na integral indefinida:
Essa não é uma integral muito fácil, mas é bastante comum. Vamos usar integração por partes!
Se fizermos , :
Já que a derivada da secante é “secante vezes tangente”, e a derivada da tangente é “secante ao quadrado”.
Jogando isso na fórmula:
Lembra que ? Vamos usar isso:
E agora podemos separar aquela integral em duas:
Agora vamos juntar as duas integrais de !
E nós sabemos que a integral da secante é , então:
Beleza, agora temos a fórmula que precisávamos!
Passo 6
Então nosso objetivo de resolver essa integral fica mais simples:
Só precisamos saber quais são os limites de integração! Antes tínhamos indo de até , e nossa definição do era:
Lembrando também que :
Vamos ver se isso já é suficiente para achar a secante e a tangente nos dois valores de .
Quando :
Quanto :
Substituindo isso tudo na nossa fórmula:
Como
Como o comprimento de arco precisa ser positivo, deduzimos que podemos eliminar . Então:
Resposta
A curva tem comprimento igual a u.c.