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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 16c.

16 - Determine o comprimento das curvas:

c) x = y 3 3 + 1 4 y de y = 1 a y = 3 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nosso objetivo nesse problema é calcular o comprimento da curva dada por x = y 3 3 + 1 4 y em que y varia de 1 a 3 .

Não podemos simplesmente substituir y em x e encontrar a diferença, pra isso temos que usar um método um pouco mais refinado, mas nada que a gente já não sabe fazer.

Tem ideia de qual é esse método? 🤔

Sabemos obter o comprimento de uma curva parametrizada, portanto temos que parametrizar essa curva e aplicar esse método.

De maneira geral, o comprimento de uma curva parametrizada é dado por

C = ∫ t i t f r ' t d t

Em que r ' t é o modulo da derivada do vetor paramétrico da curva.

Então vamos começar por aí! 😁

Passo 2

Vamos começar obtendo o vetor paramétrico da curva, considerando y como t , temos que

x t = t 3 3 + 1 4 t

Logo, o vetor paramétrico é dado por

r t = x t , y t ,     t i ≤ t ≤ t f

Ou seja...

r t = t 3 3 + 1 4 t , t ,     1 ≤ t ≤ 3

Com o vetor paramétrico obtido, vamos derivá-lo para obter seu módulo.

r ' x = d t 3 3 + 1 4 t d t , d t d t

Pelo método de derivação polinomial, temos que a derivada de t 3 3 + 1 4 t ...

d t 3 3 + 1 4 t d t = d t 3 3 + t - 1 4 d t

d t 3 3 + t - 1 4 d t = 3 t 3 - 1 3 + - 1 t - 1 - 1 4 = t 2 - 1 4 t 2

Já a derivada de t é obtido pelo mesmo método

d t d t = t 1 - 1 = 1

Substituindo esses resultados em r ' t ...

r ' x = d t 3 3 + 1 4 t d t , d t d t ,     d t 3 3 + t - 1 4 d t = t 2 - 1 4 t 2 d t d t = 1

r ' x = t 2 - 1 4 t 2 , 1

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora temos que obter o modulo desse vetor. Obtemos esse modulo calculando a raiz da soma dos quadrados dos componentes, ou seja...

r ' t = t 2 - 1 4 t 2 2 + 1 2

r ' t = 4 t 4 - 1 4 t 2 2 + 1 2

Como a b c = a c b c , então

r ' t = 4 t 4 - 1 2 4 t 2 2 + 1

r ' t = 16 t 8 - 8 t 4 + 1 16 t 4 + 1

Vamos tentar simplificar esse modulo ao máximo antes de substituir na integral

r ' t = 16 t 8 - 8 t 4 + 1 + 16 t 4 16 t 4

r ' t = 16 t 8 + 8 t 4 + 1 16 t 4 = 16 t 8 + 8 t 4 + 1 16 t 4

Podemos simplificar o polinômio 16 t 8 + 8 t 4 + 1 reescrevendo como

16 t 8 + 8 t 4 + 1 = 4 t 4 + 1 2

Substituindo em r ' t ...

r ' t = 4 t 4 + 1 2 16 t 4

Simplificando a fração sabendo que a b = a b e que a 2 = a ...

r ' t = 4 t 4 + 1 4 t 2 = t 2 + t - 2 4

Agora podemos montar a integral que vai nos dar o comprimento da curva! Bora lá!

Passo 4

Como y = t e y varia entre 1 e 3 , t também vai variar nesse mesmo intervalo, ou seja, t i = 1 e t f = 3 .

Substituindo essas informações em C , temos que

C = ∫ t i t f r ' t d t → C = ∫ 1 3 t 2 + t - 2 4 d t

Integrando pelo método de integração polinomial somando 1 no expoente de t e o dividindo por essa soma, temos

∫ t 2 + t - 2 4 d t = t 2 + 1 2 + 1 + t - 2 + 1 4 - 2 + 1 = t 3 3 - t - 1 4

∫ t 2 + t - 2 4 d t = t 3 3 - 1 4 t

Aplicando os limites de integração...

C = ∫ 1 3 t 2 + t - 2 4 d t = 3 3 3 - 1 4 3 - 1 3 3 - 1 4 1

C = 9 - 1 12 - 1 3 + 1 4

C = 53 6

Com isso, encontramos que o comprimento da curva é 53 / 6 unidades! Legal, né?

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

C = 53 6

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