Considere a curva parametrizada por para .
a) Mostre que não é uma parametrização pelo comprimento de arco.
b) Reparametrize a curva pelo comprimento de arco.
Passo 1
a) Cara para ver se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco não tem mistério: tem que ver se o vetor tangente é unitário para todo . Em termos matemáticos, devemos ver se:
Passo 2
Para ver a igualdade do passo anterior, precisamos obter o vetor tangente. Para isso, basta derivar a parametrização, ou seja
Passo 3
Agora, precisamos obter a norma desse vetor. Como fazemos isso? Raiz quadrada da soma das componentes ao quadrado! Falei grego? É só elevar geral ao quadrado, somar e tirar a raiz xD
Vem comigo...
Passo 4
Agora precisamos ver se vale 1 para todo . Agora o jeito é ver que em , essa expressão vale:
Logo, não é parametrização pelo comprimento de arco, pois achamos um valor de onde o vetor não é unitário.
Passo 5
Para reparametrizarmos pelo comprimento de arco, precisamos da função que é calculada por
Lembrando que pode ser qualquer valor no domínio da curva que no nosso caso é . Pra facilitar as contas vou usar .
Passo 6
Então pelo que já calculamos na letra a, temos que
Agora para calcular essa integral devemos usar uma substituição do tipo
Fazendo a integral indefinida temos que
Voltando pra variável do problema, temos que
Passo 7
Colocando os limites de integração temos que
Agora precisamos inverter a função , ou seja, obter a função . Para isso, basta isolarmos !
Passo 8
Para finalizar e tirar aquele 10zão, falta pegar a expressão de e substituir no lugar do na parametrização. Em termos matemáticos a gente vai fazer a composição da função com a nossa parametrização, ou seja
Resposta
a) Não está parametrizada pelo comprimento de arco
b)