Qual o valor de a > 0 para que o comprimento da hélice parametrizada por

r(t) = (cos(t), sen(t), at) , 0 ≤ t ≤ 2*pi

Seja 4 * pi ?

a) Nenhuma das alternativas

b) a = 2

c) a = 1

d) a = raiz(2)

e) a = raiz(16 * pi^2 - 1)

Passo 1

Sabemos que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ t 1 t 2 x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2 d t

Calculando as derivadas, temos:

r ' t = - s e n t , c o s t , a

Repare ainda que t 1 = 0   e t 2 = 2 π

Passo 2

Substituindo:

4 π = ∫ 0 2 π - s e n t 2 + cos ⁡ t 2 + a 2 d t

4 π = ∫ 0 2 π 1 + a 2 d t = 1 + a 2 t 2 π 0

Então:

4 π = 2 π 1 + a 2

Logo:

a = ± 3

Como a > 0 , temos:

a = 3

Resposta

a) Nenhuma das alternativas

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