Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 3, Exercício 11
(Cap. 13.3 - Ex. 11) Seja a curva de intersecção do cilindro parabólico e da superfície . Encontre o comprimento exato de da origem até o ponto (6, 18, 36).
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!
Esse enunciado é daqueles que dá pra gente tirar bastante informações que serão muito úteis pra conseguirmos fazer o exercício.
O objetivo aqui, é encontrar o comprimento da curva de intersecção do cilindro parabólico e de sua superfície dada por , desde sua origem, até o ponto dado. Tá, mas o que seria um cilindro parabólico?
A imagem aqui embaixo ilustra exatamente um cilindro parabólico genérico:
Passo 2
Agora que sabemos o que queremos, vamos seguir alguns passos pra encontrar o comprimento pedido.
A primeira coisa a se fazer nesse exercício, é encontrar uma parametrização da curva para que seja possível aplicar a fórmula de comprimento de arco posteriormente.
Essa parametrização nada mais é do que encontrar as equações paramétricas da curva.
O enunciado dá pra gente, que a projeção da curva sobre o plano é a curva ou , onde . E nos dá também, que .
Com a relação acima em mente, vamos adotar agora, como parâmetro, .
Com esse parâmetro definido, podemos reescrever as componentes e :
Como encontramos um valor de em função de , vamos substitui-lo também na equação de :
Agora, para encontrarmos a equação vetorial, basta substituirmos os valores encontrados acima de e , de modo a se obter o seguinte:
Então, temos que a equação vetorial da curva é dada por:
Passo 3
Agora, devemos encontrar os valores de nos pontos que o enunciado pediu, a partir da equação vetorial encontrada no passo anterior.
Temos que lembrar aqui, que a origem sempre corresponde ao ponto (0, 0, 0). Então, faremos a análise de para os seguintes pontos: e .
A relação que vamos utilizar para achar o valor de nesses dois pontos é a seguinte:
Resolvendo acima, teremos que em , e em , . Esses valores serão nossos limites de integração, os quais serão usados na fórmula de comprimento de arco, que corresponde a:
Passo 4
O próximo passo é obter , que é a derivada da equação vetorial.
Então, teremos que será:
Obtida a derivada da curva, vamos calcular seu módulo . Esse módulo nada mais é, do que o módulo da raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos termos da curva derivada.
Em termos de equação, vamos ter:
Então vamos lá! Substituindo os valores da derivada da curva, temos:
Passo 5
Por fim, com o valor do módulo calculado, podemos substitui-lo na fórmula do comprimento de arco mencionada no passo 3:
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??