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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 4.

O comprimento de uma curva parametrizada por

r t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t , 2 t 3 2 2 3   ,   t ∈ [ 0 ,   2 π ]

É:

  1.   2 π ( π + 1 )
  2. 2 π ( 2 π + 1 )
  3. π ( 2 π + 1 )
  4. π ( π + 1 )

Passo 1

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

Encontrar t 1 e t 2 :

O problema já forneceu os valores de t 1 e t 2 .

Portanto:

t 1 = 0 t 2 = 2 π

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t , 2 t 3 2 2 3

σ ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t , sen ⁡ t + t cos ⁡ t , 2 2 3 . 3 2 . t 1 2

σ ' t = cos ⁡ t - t sen ⁡ t , sen ⁡ t + t cos ⁡ t , 2 t

Passo 3

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' ( t ) = cos ⁡ t - t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t + t cos ⁡ t 2 + 2 t 2

σ ' ( t ) = c o s 2 t - 2 t cos ⁡ t sen ⁡ t + t 2 s e n 2 t + s e n 2 t + 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + t 2 c o s 2 t + 2 t

σ ' ( t ) = t ² + 2 t + 1

Note que essa expressão tá com cheiro de quadrado perfeito: a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = t 2 2 a b = 2.1 . t b 2 = 1

Resolvendo esse sistema, encontramos que:

a = t   b = 1

Logo:

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

⇒ t ² + 2 t + 1 = t + 1 2

Substituindo acima temos que:

σ ' ( t ) = t + 1 2

σ ' ( t ) = t + 1

Passo 4

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

⇒ L = ∫ 0 2 π t + 1   d t

Calculemos então a integral indefinida:

∫ t + 1   d t = t 2 2 + t

Substituindo na integral definida:

L = 1 2 . 2 π 2 + 2 π - 0

⇒ L = 2 π ² + 2 π

⇒ L = 2 π ( π + 1 )

Resposta

L e t r a   a

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