UFCG. Cálculo Diferencial e Integral II. Listas de Cálculo 2 UAMat. Lista 3. Questão 15e.
15 - Determine o comprimento das curvas parametrizadas:
e) , , .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
No nosso probleminha, temos que calcular o comprimento da curva que está parametrizada por , onde e sabendo que varia de a .
Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔🤔
é o vetor paramétrico da curva, correto? De maneira geral o comprimento de uma curva é dado pela integral do modulo da derivada do seu vetor paramétrico, ou seja
Então se é dado por
Temos que derivá-lo e obter seu módulo para começar!
Bora lá! 😁
Passo 2
A derivada de é dada por
Podemos obter a derivada de pela regra da cadeia já que temos uma função composta.
Chamamos a função interna de dada por e a função externa de , assim, derivando pela regra da cadeia fazemos o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo na derivada de ...
Não podemos deixar o resultado em função de , então voltamos para !
Tranquilo até aqui? 🤔
Passo 3
Agora para a derivada de calculamos pelo método de derivação polinomial.
Substituindo esses resultados em , temos
O próximo passo é obter o módulo de , que é obtido do mesmo modo que um vetor qualquer...
Simplificando...
Podemos simplificar esse modulo um pouco mais se completássemos o quadrado do polinômio .
Podemos reescrevê-lo como
Substituindo em , temos
Bacana, não é? 😁
Passo 4
Agora finalmente podemos montar nossa integral! Nos limites de integração e usamos o intervalo de que nos interessa, e , respectivamente
Integrando pelo método de integração polinomial, temos
Aplicando os limites de integração...
Então descobrimos que o comprimento da curva parametrizada é dado por unidades!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
