15 - Determine o comprimento das curvas parametrizadas:

e) x = (2t + 3)^(3/2) / 3 , y = t + t^2 / 2 , 0 ≤ t ≤ 3 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

No nosso probleminha, temos que calcular o comprimento da curva que está parametrizada por r t = x t , y t , onde x t = 2 t + 3 3 2 3 e y t =   t + t 2 2 sabendo que t varia de 0 a 3 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔🤔

r t é o vetor paramétrico da curva, correto? De maneira geral o comprimento de uma curva é dado pela integral do modulo da derivada do seu vetor paramétrico, ou seja

C = ∫ t i t f r ' t d t

Então se r t é dado por

r t = 2 t + 3 3 2 3 ,   t + t 2 2

Temos que derivá-lo e obter seu módulo para começar!

Bora lá! 😁

Passo 2

A derivada de r t é dada por

r ' t = d 2 t + 3 3 2 3 d t , d   t + t 2 2 d t

Podemos obter a derivada de 2 t + 3 3 2 3 pela regra da cadeia já que temos uma função composta.

Chamamos a função interna de u dada por 2 t + 3 e a função externa de u 3 2 3 , assim, derivando pela regra da cadeia fazemos o produto da derivada da função interna com a derivada da função externa.

d 2 t + 3 3 2 3 d t = d 2 t + 3 d t d u 3 2 3 d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d 2 t + 3 d t = 2 t 1 - 1 + 3 0 = 2

d u 3 2 3 d u = 3 2 u 3 2 - 1 3 = u 2

Substituindo na derivada de 2 t + 3 3 2 3 ...

d 2 t + 3 3 2 3 d t = 2 u 2 = u

Não podemos deixar o resultado em função de u , então voltamos u para 2 t + 3 !

d 2 t + 3 3 2 3 d t = 2 t + 3

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora para a derivada de t + t 2 2 calculamos pelo método de derivação polinomial.

d   t + t 2 2 d t = t 1 - 1 + 2 t 2 - 1 2 = 1 + t

Substituindo esses resultados em r ' t , temos

r ' t = d 2 t + 3 3 2 3 d t , d   t + t 2 2 d t → d 2 t + 3 3 2 3 d t = 2 t + 3 d   t + t 2 2 d t = 1 + t

r ' t = 2 t + 3 , 1 + t

O próximo passo é obter o módulo de r ' t , que é obtido do mesmo modo que um vetor qualquer...

r ' t = 2 t + 3 2 + 1 + t 2

Simplificando...

r ' t = 2 t + 3 + 1 + 2 t + t ²

r ' t = t 2 + 4 t + 4

Podemos simplificar esse modulo um pouco mais se completássemos o quadrado do polinômio t 2 + 4 t + 4 .

Podemos reescrevê-lo como

t 2 + 4 t + 4 = t + 2 2

Substituindo em r ' t , temos

r ' t = t + 2 2 = t + 2

Bacana, não é? 😁

Passo 4

Agora finalmente podemos montar nossa integral! Nos limites de integração t i e t f usamos o intervalo de t que nos interessa, 0 e 3 , respectivamente

C = ∫ t i t f r ' t d t → C = ∫ 0 3 t + 2 d t

Integrando pelo método de integração polinomial, temos

∫ t + 2 d t = t 1 + 1 1 + 1 + 2 t = t 2 2 + 2 t

Aplicando os limites de integração...

C = ∫ 0 3 t + 2 d t = 3 2 2 + 2 3 - 0 2 2 + 2 0

C = 9 2 + 6

C = 21 2

Então descobrimos que o comprimento da curva parametrizada é dado por 21 / 2 unidades!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

C = 21 2

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