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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 15f.

15 - Determine o comprimento das curvas parametrizadas:

f) x = e t - t , y = 4 e t / 2 , 0 ≤ t ≤ 3 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, estamos interessados em calcular o comprimento entre t = 0 e t = 3 da curva parametrizada por x t = e t - t e y t = 4 e t / 2 . Se juntarmos essas informações, podemos montar nosso vetor paramétrico como

r t = x t , y t ,     t i ≤ t ≤ t f

Ou seja...

r t = e t - t   , 4 e t / 2 ,     0 ≤ t ≤ 3

Mas como vamos obter o comprimento dessa curva?? 🤔🤔

Existe uma maneira muito interessante para esses casos, como se fosse uma formulinha dada por

C = ∫ t i t f r ' t d t

Ou seja, o comprimento é dado pela integral do módulo da derivada do vetor paramétrico limitado pelo intervalo de t .

Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos derivar o vetor paramétrico da curva

r ' t = d e t - t d t , d 4 e t 2 d t

A derivada de e t - t é obtida pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo.

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de e t com relação a t é igual a e t já a derivada de t , pela derivação polinomial é igual a 1 ...

d e t - t d t = e t - t 1 - 1 = e t - 1

Agora a derivada de 4 e t 2 é obtida pela regra da cadeia por ser uma função composta. Chamando a função interna t / 2 de u e a função externa de 4 e u , na regra da cadeia, a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora. Ou seja

d 4 e t 2 d t = d t 2 d t d 4 e u d u

Essas derivadas seguem a mesma ideia da derivada anterior

d t 2 d t = t 1 - 1 2 = 1 2

d 4 e u d u = 4 e u

Substituindo u por t / 2 de volta e juntando os resultados, temos

d 4 e t 2 d t = 1 2 4 e t / 2 = 2 e t / 2

Dessa forma, a derivada de r t é dada por

r ' t = e t - 1,2 e t 2

Entendeu essa parte? 😉

Passo 3

Nessa parte vamos obter o módulo de r ' t . Como r ' t é um vetor, calculamos seu módulo como um vetor comum

r ' t = e t - 1 2 + 2 e t 2 2

Como a b c = a b c ... simplificando r ' t

r ' t = e 2 t - 2 e t + 1 + 2 2 e 2 t 2 = e 2 t - 2 e t + 1 + 4 e t

r ' t = e 2 t + 2 e t + 1

Podemos simplificar r ' t um pouco mais completando quadrados do polinômio e 2 t + 2 e t + 1 .

Podemos dizer que

e 2 t + 2 e t + 1 = e t + 1 2

Ou seja

r ' t = e t + 1 2

r ' t = e t + 1

Substituindo essas informações na integral C , lembrando que t i = 0 e t f = 3 , temos

C = ∫ t i t f r ' t d t → C = ∫ 0 3 e t + 1 d t

Se a derivada de e t é igual a e t , então a integral de e t também é e t , concorda?

Já a derivada de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração. Portanto...

∫ e t + 1 d t = e t + t

Aplicando os limites de integração...

C = ∫ 0 3 e t + 1 d t = e 3 + 3 - e 0 + 0

C = e 3 + 3 - 1

C = e 3 + 2

Com isso, vimos que o comprimento da curva parametrizada por r t é dado por e 3 + 2 unidades!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

C = e 3 + 2

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