UFCG. Cálculo Diferencial e Integral II. Listas de Cálculo 2 UAMat. Lista 3. Questão 15c.
15 - Determine o comprimento das curvas parametrizadas:
c) , , .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos que calcular o comprimento de uma curva que está parametrizada. Com base nas informações dadas no enunciado, sabemos que é igual a e que é igual a . Também vemos que varia de a .
Como podemos obter esse comprimento com base nessas informações? 🤔🤔
Vamos montar a função vetorial que resulta na curva que queremos. Fazendo ...
Quando temos que obter o comprimento de uma curva parametrizada, calculamos a integral do módulo de , ou seja
Portanto é o comprimento da curva !
Bora ver como fazemos no nosso caso? 😁
Passo 2
Vamos começar derivando com relação a .
Derivando pelo método de derivação polinomial, multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo do seu expoente...
Substituindo esses resultados em
Agora obtemos o módulo de calculando a raiz da soma dos seus termos ao quadrado.
Como , então
Simplificando...
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Por fim, substituindo na integral sabendo que e .
Para essa integral, vamos fazer uma substituição de variáveis e chamar de , assim para o limite inferior, temos
Para o limite superior, temos
E por último, temos que substituir . Fazendo pelo método de derivação polinomial...
Assim, isolando em um lado, temos
Fazendo essas substituições em , temos que
Tiramos a constante para fora da integral
Integrando pelo método de integração polinomial somando no expoente da variável e a dividindo pelo resultado dessa soma, temos
Legal, não é? 🤩
Passo 4
Aplicando os limites de integração nesse resultado, temos
Por fim, substituindo em , temos que ao comprimento da curva parametrizada é dada finalmente por
Portanto, o comprimento da curva parametrizada no intervalo dado é de unidades!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
