Uma curva C é a união de duas curvas C 1 e C 2 , onde C 1 é um segmento de reta e C 2 é uma porção da circunferência, conforme a figura. Pede-se:

  1. Parametrize curvas C 1 e C 2
  2. O comprimento total de C .

Passo 1

C 1 é um segmento de reta.

Se observarmos a figura vemos que os pontos ( 2,2 ) , ( 0,0 ) e ( - 2 , - 2 ) pertencem ao segmento. Assim, esse segmento nada mais que é que a reta x = y , com t ∈ [ - 2,2 ] :

σ C 1 t = t , t ,   - 2 ≤ t ≤ 2

Passo 2

C 2 é uma porção da circunferência de raio r = 2 , centrada em ( 0,2 ) .

A parametrização da circunferência nós já conhecemos. Assim:

σ C 2 t = ( 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t + 2 )

Passo 3

Mas, precisamos notar que C 2 é apenas uma porção da circunferência, portanto, precisamos descobrir os limites do parâmetro t .

Para isso, observamos que,no ínicio da curva ( t = t 1 ) , temos o ponto ( 2,2 ) e no final da curva ( t = t 2 ) , temos o ponto ( - 2 , 2 - 2 ) . Assim:

2 cos ⁡ t 1 ,   2 s e n   t 1 + 2 = 2,2

2 cos ⁡ t 1 = 2

2 s e n   t 1 + 2 = 2

Então:

t 1 = 0

E

2 cos ⁡ t 2 ,   2 s e n   t 2 + 2 = ( - 2 , 2 - 2 )

2 cos ⁡ t 2 = - 2

2 s e n   t 2 + 2 = 2 - 2

Então:

t 2 = arccos ⁡ - 2 2

t 2 = a r c s e n - 2 2  

Assim:

t 2 = 5 π 4

Então, a parametrização de C 2 é:

σ C 2 t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t + 2 ,   0 ≤ t ≤ 5 π 4

Passo 4

Agora precisamos observar que C = C 1 + C 2 , então, para calcular o comprimento total de C , basta calcularmos o comprimento de C 1 e de C 2 e depois somar os dois.

Começando por C 1 :

σ C 1 t = t , t

σ C 1 ' t = 1,1

σ C 1 ' ( t ) = 1 2 + 1 2 = 2

Passo 5

Agora C 2 :

σ C 2 t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t + 2

σ C 2 ' t = - 2 sen ⁡ t ,   2 c o s   t

σ C 2 ' t = - 2 sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 = 4 = 2

Passo 6

Para calcular os comprimentos precisamos apenas substituir nossos resultados em

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t ) d t

Assim,

L C 1 = ∫ - 2 2 σ C 1 ' t d t = ∫ - 2 2 2 d t = 2 t 2 - 2 = 2 2 - - 2 = 4 2  

E

L C 2 = ∫ 0 5 π 4 σ C 2 ' t d t =   ∫ 0 5 π 4 2 d t = 2 t 5 π 4 0 = 2 5 π 4 - 0 = 5 π 2

Passo 7

O comprimento da curva C é, portanto:

L C = L C 1 + L C 2 = 4 2 + 5 π 2 = 8 2 + 5 π 2

Resposta

σ C 1 t = t , t ,   - 2 ≤ t ≤ 2

σ C 2 t = ( 2 cos ⁡ t ,   2 s e n   t + 2 )

L C = 8 2 + 5 π 2

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