Seja uma parametrização de uma curva no espaço , definida no intervalo , com . Suponha que seja continuamente diferenciável, com derivada denotada por Assinale a alternativa incorreta:
- Se o comprimento de arco de uma curva é igual a , então , para todo
- Se para todo , onde é uma constante, então o comprimento de arco da curva é .
- Se para todo , onde é uma constante, então a curva está contida em uma esfera centrada na origem.
- Se a curva está contida em uma esfera centrada na origem, então para todo
- Se para todo , onde são constantes, então a curva é uma reta.
Passo 1
Vamos analisar cada afirmação e, pra variar, vamos começar pela última.
Aaaaaah, por essa você não esperava né?!
“Se para todo , onde são constantes, então a curva é uma reta.”
Se o vetor de derivadas, ou seja, se o vetor tangente, é formado somente por constantes, isto é, não depende do parâmetro , então significa que ele tem sempre a mesma direção, em todos os pontos.
OU SEJEEEE, tamo falando de uma reta.
Além disso, matematicamente, podemos dizer:
E isso é exatamente a parametrização de uma reta.
Belezinha?
Passo 2
“Se para todo , onde é uma contante, então a curva está contida em uma esfera centrada na origem.”
Podemos dizer que
Assim,
Ou seja,
Que é exatamente a equação de uma esfera de raio centrada na origem!
Passo 3
“Se a curva está contida em uma esfera centrada na origem, então para todo ”
Se a curva tá contida numa esfera, então os vetores e são perpendiculares. E o produto escalar entre dois vetores perpendiculares é nulo.
Passo 4
“Se para todo , onde é uma constante, então o comprimento de arco da curva é .”
O comprimento do arco é dado pela fórmula
Se , então
Passo 5
“Se o comprimento de arco de uma curva é igual a , então , para todo ”
Vamos lá, o comprimento do arco é
A princípio, pode parecer verdade que para isso ser verdade, tem que ser igual a . E de fato ele pode ser igual a . Mas não para todo .
Por exemplo, se
Logo, provamos que isso não é verdade e achamos (finalmente) a resposta da nossa questão.