Um objeto move-se no espaço R^3 , descrevendo uma curva de comprimento pi . Ele parte do ponto (raiz(3), 0,0) no instante t = 0 e sua posição ao longo do tempo é dada por (raiz(3) cos(t), raiz(3) sen(t), t) . Sua posição final é:

a) (0, raiz(3), pi/2)

b) {-raiz(3), 0, pi}

c) (raiz(3), 0,2, pi)

d) (0, -raiz(3), 1)

e) (raiz(15), pi/2, 0)

f) (3*pi/2, 0, raiz(7))

Passo 1

Sabemos que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ t 1 t 2 x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2 d t

Calculando as derivadas, temos:

r ' t = - 3 s e n t   , 3 c o s t , 1  

Repare ainda que t 1 = 0   .

Passo 2

Substituindo:

π = ∫ 0 t 2 - 3 s e n t 2 + 3 c o s t 2 + 1 2 d t

π = ∫ 0 t 2 3 + 1 d t = 2 t t 2 0

Então:

π = 2 t 2

Logo:

t 2 = π / 2

Passo 3

Calculando a posição do objeto no instante t 2 = π / 2 , temos:

P f = 3 c o s π 2 , 3 s e n ( π / 2 )   ,   π / 2

P f = ( 0 , 3 , π / 2 )

Resposta

a) a) 0 , 3 , π / 2

Exercícios de Livros Relacionados