UnB; Cálculo 1; Lista 15 – Frações Parciais e Comprimento de Arco; Exercício 1a
1) Se é uma função derivável então o comprimento da curva determinada pelo gráfico de é dado pela integral . Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(a)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!
O enunciado começa dizendo que temos uma função derivável . Tá, mas o que isso significa?? Essa expressãozinha só assusta, mas na verdade é bem simples. Ela está dizendo pra nós que temos uma função que é com toda certeza derivável, e que o intervalo dessa função está entre os valores de e e que estes valores são reais.
Tá, a primeira parte já foi desvendada!! Depois disso, o enunciado afirma pra gente que o comprimento de uma curva determinada pelo gráfico de é dado por uma expressãozinha:
.
Isso aqui é exatamente o que precisamos pra encontrarmos a nossa resposta!! Basta encontrarmos esse a partir da função que nos foi dada!!
Mas como vamos fazer isso? A resposta é: uma coisa de cada vezpor partes!
Então, analisando melhor essa formulinha de comprimento , vemos que dentro da raiz quadrada temos a derivada da função dada no enunciado (), elevada ao quadrado.
Vamos começar por isso então!!
Passo 2
A função que precisamos derivar é a que foi dada no enunciado:
Esse significa que o pertence ao intervalo . Mas não precisamos disso agora então deixa essa informação guardadinha.
Para derivar a função, precisaremos usar algumas regrinhas que são padrão quando derivamos funções. Mas antes, vamos observar que aquele ali é uma constante, e, portanto, pode ir para fora da derivada, então vamos ter que:
A regrinha que vamos usar aqui, se baseia na derivada da exponencial, que nos dá que a derivada de é igual a . Então, a derivada de sempre vai ser .
Mas calma, devemos lembrar também que se o expoente for negativo, temos que: a derivada de é igual a .
Saber disso vai facilitar bastante a sua vida sempre que tivermos derivadas exponenciais, então guarda esse truque aí no seu caderninho e bora lá!
Então, voltando pra nossa derivada, temos que:
Pronto! Agora basta reescrevermos pra obtermos a derivada da nossa função dada no enunciado!
Passo 3
Antes de irmos para o nosso próximo passo, vou reescrever a nossa fórmula do comprimento com a derivada encontrada no passo 2:
Agora podemos desenvolver o que está ali dentro da integral pra podermos calculá-la!
Vamos começar resolvendo o que está dentro da nossa raiz:
Então, a raiz disso vai ser:
Reorganizando a nossa fórmula de comprimento vamos ter que:
Passo 4
Já temos quase tudo que precisamos! Falta agora definirmos o valor dos limites de integração e ! Mas como vamos fazer isso? Temos que fazer mais conta?????
Nãoo! Não precisamos de mais contas!
Aqui vamos lembrar daquilo que falamos no passo 2. O enunciado definiu pra gente um intervalo para x, onde .
Prontinho galera! Tão aí os nossos limites de integração!
Vamos reescrever então:
Passo 5
Por fim, pra gente resolver essa integral e encontrarmos o que o exercício pede, como se trata da integral de um exponencial, sabemos que o valor de uma integral exponencial será sempre o mesmo.
Mas antes, vamos observar que temos uma constante ali na nossa integral, e que pode “ir pra fora” da integral:
Pronto, agora sim podemos seguir o cálculo da integral.
Como foi dito anteriormente, a integral de exponenciais sempre é a mesma:
sempre será e a integral sempre será .
Então, temos que:
Ufa!! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?