Encontre o comprimento de arco da curva
Quando .
Passo 1
Antes de qualquer coisa, o que representa essa função? Sim, ela representa uma curva parametrizada no espaço!
Bem, a um primeiro momento a gente pode até se assustar com esse exercício, pois a gente não sabe trabalhar com uma curva no espaço, certo?
Mas calma, não se assuste, pois na verdade a gente vai trabalhar com ela no plano! What???? Como assim no plano? Você não acabou de dizer que ela está no espaço?
Vem comigo! :D
Passo 2
Pow, em primeiro lugar, o que significa esses três termos da parametrização , mesmo?
Bem, se você pensar que esses termos representam um ponto do espaço , teremos nesse caso:
Agora note que é um plano paralelo ao plano e toda essa curvinha está em cima dela!!!:)
Pegou a ideia? A gente sabe trabalhar com a curva no plano, mas não necessariamente no plano !
Então se a gente chamar essa curva em cima desse plano de , basta determinar o comprimento dessa que o comprimento da será o mesmo!
Passo 3
Bem, para o comprimento de uma curva no plano, basta a gente aplicar a teoria de comprimento de curva parametrizada, ou seja
E quem é esse e ?
Eles são os limites de . No caso, como , e .
Como e , basta calcular as derivadas e integrar.
Passo 4
Para a derivada de com relação a , temos aplicando a regra da cadeia
E será
Passo 5
Montando a integral
Elevando ao quadrado
Se a gente fizer uma substituição simples desse termo dentro da raiz, por
ou
Toda vez que fazemos uma substituição, não podemos deixar de trocar os limites, ou seja:
Agora substituindo na integral, teremos
Constante vasa da integral
Substituindo os limites de integração em
Lembrando que e
Multiplicando os expoentes
E efetuando as simplificações...