UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 1, Questão 7b
Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição quando varia em um intervalo de tempo nos itens abaixo. Compare com o comprimento da curva (note que a curva pode ser fechada).
b) , , para
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida por uma partícula e comparar com o comprimento da curva percorrida por ela. Mas qual a diferença?
Bom, a curva completa é percorrida quando vai de até , pois a partir desse valor estaremos percorrendo-a novamente.
Já a distância percorrida pela partícula se dá quando vai de a , então nossa distância será vezes o comprimento da curva.
Sabemos que o comprimento de uma curva é:
Então, é essa integral que nós vamos calcular. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando o comprimento da curva percorrida pela partícula:
Derivando temos e . Assim,
Elevando ao quadrado:
Colocando em evidência:
Vamos usar duas substituições para conseguir resolver essa integral. Primeiro, vamos fazer:
Agora, vamos trocar
Vish, a integral de é um pouco trabalhosa, como esse não é o foco da questão, vamos pular essa resolução (se você estiver com dificuldades pode dar uma olhadinha na seção que trata de integração por partes).
Voltando,
Voltando à nossa substituição:
Agora vamos trocar esses valores e calcular o valor dentro dos limites de .
Esse trabalho todo foi para encontrarmos o comprimento da curva, ainda falta a distância percorrida, mas calma que agora é rapidinho. Vimos no início da questão que a distância percorrida é igual a vezes o comprimento da curva, portanto, basta pegarmos e multiplicarmos por . Assim, descobrimos que a distância percorrida foi de
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉