Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 13, Seção 3, Exercício 3
(Capítulo 13.3 – Exercício 3) Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão!
Esse enunciado é bem direto e pequenininho, então vamos olhar bem pra equação e intervalo de tempo que foram dados nele, pra gente entender o que temos que fazer!
Quando um exercício pede pra gente calcular o comprimento de uma curva que foi dada, em um determinado intervalo de valores, existem alguns passos que devemos seguir pra achar esse comprimento! Se a gente seguir eles certinho, não tem erro!
Vamos começar relembrando que, de acordo com a literatura, o comprimento de uma curva sempre vai ser dado pela integral do módulo da derivada dessa curva. Em termos de equação, isso vai ficar mais ou menos assim:
Então, antes de tudo, o primeiro passo pra chegarmos no resultado final, vai ser encontrar a derivada da curva dada.
Passo 2
Do enunciado, a gente tem que a curva é:
Então, para acharmos a derivada, vamos aplicar a derivada termo a termo na equação acima:
Passo 3
Feito isso, nosso segundo passo aqui vai ser calcular o módulo dessa derivada encontrada. Esse módulo é representado por: .
Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que a raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos componentes da curva derivada.
Em termos de equação, vamos ter:
Então vamos lá! Substituindo os valores da derivada da curva encontrados no passo 1, temos:
Aqui podemos tirar o M.M.C. pra simplificar nosso módulo. Vamos ficar com:
E então vamos observar algo bem interessante! Esse nosso numerador é um produto notável!! E podemos escrever ele assim, olha só:
Tanto o numerador como o denominador estão elevados ao quadrado dentro da raiz. Isso é ótimo porque significa que podemos tirar eles de lá. Mas lembrando que isso só pode acontecer se eles forem positivos, ok?
Vamos ter então:
Passo 4
Então, por fim, integrando o valor que encontramos no passo acima, teremos algo mais ou menos assim:
Tá, mas e esses valores de e nos limites de integração? O que fazemos com eles?
Note que o enunciado deu pra gente um intervalo de valores para :
Esse intervalo será nosso limite de integração!!
Então, quando substituímos na fórmula ali em cima, temos tudo o que precisamos pra calcular nossa integral:
Uhul!! Conseguimos!!
Pra essa questão é isso, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma então??