Seja uma partícula cuja posição no espaço ao longo do tempo é descrita pela função vetorial s(t) = (cos(2t), sen(2t), t) , com t ∈ [0, 2pi] .

Calcule o comprimento de arco (distância percorrida pela partícula) entre os tempos t = pi / 4 e t = pi .

Passo 1

L = ∫ t 1 t 2 s ' ( t ) d t

Encontrar t 1 e t 2 :

O problema já nos disse entre quais tempos queremos calcular o comprimento de arco:

t 1 = π 4   t 2 = π

Passo 2

Calcular s ' ( t ) :

s ' t = ( - 2 sen ⁡ 2 t , 2 cos ⁡ 2 t , 1 )

Passo 3

Calcular s ' ( t ) :

s ' ( t ) = - 2 sin ⁡ 2 t 2 + 2 cos ⁡ 2 t 2 + 1 2

⇒ s ' ( t ) = 4 sen 2 ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t ⏟ 1 + 1

⇒ s ' ( t ) = 5

Passo 4

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 s ' ( t ) d t

⇒ L = ∫ π / 4 π 5 d t

⇒ L = 5 ∫ π / 4 π d t

⇒ L = 5   π - π 4

⇒ L = 3 5 4 π

Resposta

L = 3 5 4 π

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