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Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

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Enunciado

O comprimendo da curva dada pela interseção do cilindro

x 2 + y 2 2 = 1

Com o plano

x = z

É:

  1. 2 π
  2. π
  3. π 2
  4. 2 2 π
  5. 2 π

Passo 1

Primeiro a gente vai ter que descobrir que curva é essa, parametrizar essa bagaça e só depois vamos poder calcular o comprimento dela. Aiai... vamos lá então, né?

Temos essas duas superfícies:

x 2 + y 2 2 = 1

E

x = z

Repare que o x já está isolado. Então, substituindo x = z na equação do cilindro, vamos encontrar a elipse

z 2 + y 2 2 = 1

Que é a projeção no plano y z da nossa curva de interseção.

Passo 2

Como isso é uma elipse, já podemos parametrizar, porque afinal, parametrização de elipse já tem que tá correndo no nosso sangue!

É assim:

z t = cos ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t

E nosso parâmetro t pode variar de 0 até 2 π , pra fechar a elipse.

Passo 3

Agora, pra finalizar a parametrização da nossa curva de interseção, é só substituir essa parametrização que já fizemos na variável isolada. Assim:

x = z

x t = z t = cos ⁡ t

A parametrização da nossa curva fica, então:

σ t = cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t , cos ⁡ t   ,   t ∈ 0,2 π  

Passo 4

Agora sim, vamos calcular o comprimento disso:

L = ∫ 0 2 π σ ' ( t ) d t

Vamos começar então, calculando σ ' ( t ) :

σ ' t = - sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , - sen ⁡ t

Passo 5

Show, agora vamos calcular σ ' ( t ) :

σ ' ( t ) = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2

σ ' ( t ) = - sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 + - sen ⁡ t 2

σ ' ( t ) = sen ² ⁡ t + 2 cos ² ⁡ t + sen ² ⁡ t

σ ' ( t ) = 2 sen ² ⁡ t + 2 cos ² ⁡ t

σ ' ( t ) = 2   ( sen ² ⁡ t + cos ² ⁡ t )

σ ' ( t ) = 2

Passo 6

Agora é só substituir na fórmula do comprimento e calcular a integral:

L = ∫ 0 2 π σ ' ( t ) d t

L = ∫ 0 2 π 2 d t = 2 t

L = 2 . 2 π - 2 . 0  

L = 2 2 π

Resposta

L e t r a   d

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