Uma partícula se move numa hélice com vetor posição no tempo t , r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   2 t ,     t ≥ 0 . Qual é o tempo para que a distância percorrida seja 3 π ?

(a) 3 π 2

(b) 3 5 π

(c) 3 π 5

(d) 6 π

(e) 3 π

Passo 1

Queremos o tempo para que a distância percorrida seja 3 π , certo? Mas essa distância nada mais é que o comprimento de arco da hélice do tempo inicial t = 0 até o tempo que procuramos, que podemos chamar de t 1 .

Portanto, pela fórmula do comprimento de arco:

∫ 0 t 1 r ' ( t ) d t = 3 π

Passo 2

Vamos calcular r ' ( t ) :

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   2 t

⇒ r ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , 2

Então o módulo de r ' ( t ) é:

r ' ( t ) = - sen ⁡ t 2 + cos 2 ⁡ t + 2 2

⇒   r ' ( t ) = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 4

⇒   r ' ( t ) = 5

Passo 3

Show! Voltando à fórmula do comprimento de arco:

∫ 0 t 1 r ' ( t ) d t = 3 π

⇒   ∫ 0 t 1 5 d t = 3 π

⇒ 5 t 0 t 1 = 3 π

⇒ 5 t 1 = 3 π

⇒ t 1 = 3 π 5

Resposta

Alternativa (c)

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