UnB; Cálculo 1; Lista 15 – Frações Parciais e Comprimento de Arco; Exercício 2a
2) Seja uma curva no plano definida, parametricamente, por , com . Suponha que e são funções contínuas que não se anulam simultaneamente em e que a curva é percorrida exatamente uma vez quando avança de para . Nessas condições, o comprimento de é dado pela integral definida
Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(a)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!
Vamos começar interpretando a primeira parte da questão. O enunciado fala que temos uma curva , que é definida parametricamente por , com . Tá, mas o que isso quer dizer?
Parece ser algo complicado, mas na verdade isso só diz pra gente que a curva é definida por duas funções: , que vão possuir em um intervalo entre e !!
Na segunda parte, quando ele fala que temos e como funções contínuas, vamos relembrar que esse x e y com apostrofo significa a derivada das funções , e que estas serão, portanto, contínuas. Depois disso, quando o enunciado nos diz que essas derivadas não se anulam em , quer dizer que nos valores de e , a soma das funções não será 0!
Continuando nesse mesmo raciocínio, vamos pensar aqui que quando o exercício afirma que a curva é percorrida exatamente uma vez quando avança de para , isso nada mais é do que ele dizendo que os nossos limites de integração para resolver essa questão serão e !!
E por fim, ele pede pra gente calcular o comprimento da curva pela fórmula de fornecida!
Viu só?! O enunciado só assusta, mas na verdade o exercício é simples!
Passo 2
Vamos começar separando as informações que temos:
Como a fórmula de precisa das derivadas das funções e acima, vamos começar por aí!
Então, encontrando a derivada de temos que:
Vale lembrar aqui que a derivada de funções trigonométricas é previamente conhecida, e que nesse caso, será uma constante, e por esse motivo ele permanece.
Encontrando a derivada de temos que:
Passo 3
Agora que já temos as derivadas das nossas funções, podemos substitui-la na fórmula de comprimento dada no enunciado:
Substituindo os valores temos:
Antes de seguirmos, vamos definir nossos limites de integração! Mas como vamos fazer isso? Precisamos fazer mais cálculos?
Calma! Não precisamos de mais cálculos! Vamos observar aqui que o enunciado definiu um intervalo de : . Esse intervalo representa os nossos limites de integração!! Então temos que e .
Reescrevendo a fórmula vamos ter então:
Passo 4
Por fim, vamos resolver a integral do passo acima! Mas antes, vamos manipular aquela raiz quadrada que está ali.
Usando a regra de multiplicação de potências, vamos fazer a distribuição dos expoentes dentro da raiz:
Como é um fator comum, ele pode ser colocado em evidência:
Agora, sabemos que das relações trigonométricas que . Então substituindo ali em cima vamos ter que:
Porém, antes de sairmos resolvendo essa integral, vamos observar que ela está sendo aplicada em função de . Portanto o que está ali é uma constante que vai sair da integral. Com isso, vamos ter o seguinte:
Agora sim podemos resolver a integral! Vamos ter que:
Ufa!! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?