15 - Determine o comprimento das curvas parametrizadas:

d) x = t^2 / 2 , y = ((2t + 1)^(3/2)) / 3 , 0 ≤ t ≤ 4 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

O que temos que fazer nessa questão é obter o comprimento da curva parametrizada por x = t 2 / 2 e y = 2 t + 1 3 / 2 3 em que t varia entre 0 e 4 .

Tem ideia do que fazemos para calcular esse comprimento?? 🤔🤔

De maneira geral, o comprimento de uma curva parametrizada por uma variável, temos a seguinte fórmula.

C = ∫ t 0 t f r ' t d t

Ou seja, chamamos o vetor r t como o vetor paramétrico da curva, então calculando o módulo da sua derivada e aplicando na integral limitada pelo intervalo de variação de t ... obtemos o comprimento da curva!

Bora ver como fica no nosso caso? 😁

Passo 2

Se x = t 2 / 2 e y = 2 t + 1 3 / 2 3 , então o vetor r t é dado por

r t = x t , y t

r t = t 2 2 ,   2 t + 1 3 2 3

Derivando o vetor r t para obter r ' t , temos

r ' t = d t 2 2 d t , d   2 t + 1 3 2 3 d t

A derivada de t 2 2 pode ser obtida facilmente pelo método de derivação polinomial

d t 2 2 d t = 2 · t 2 - 1 2 = t

Já a derivada de 2 t + 1 3 2 3 é obtida pela regra da cadeia, lembra dela? A regra da cadeia é aplicada em funções compostas e consiste em calcular a derivada da função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora. Ou seja, fazendo 2 t + 1 como u (sendo a função interna) ...

d   2 t + 1 3 2 3 d t = d 2 t + 1 d t d   u 3 2 3 d u

Pelo método de derivação polinomial... temos

d 2 t + 1 d t = 2 t 1 - 1 + 1 0 = 2

d   u 3 2 3 d u = 3 2 · u 3 2 - 1 3 = u 1 2 2

Substituindo na derivada de 2 t + 1 3 2 3 ...

d   2 t + 1 3 2 3 d t = 2 · u 1 2 2 = u 1 2

Como u = 2 t + 1 , então

d   2 t + 1 3 2 3 d t = 2 t + 1

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo esses resultados em r ' t , temos

r ' t = d t 2 2 d t , d   2 t + 1 3 2 3 d t → d t 2 2 d t = t d   2 t + 1 3 2 3 d t = 2 t + 1

r ' t = t , 2 t + 1

Lembra como calculamos o modulo de um vetor? A ideia aqui é a mesma, ou seja

r ' t = t 2 + 2 t + 1 2

r ' t = t 2 + 2 t + 1

Podemos simplificar o polinômio t 2 + 2 t + 1 completando quadrados. Podemos dizer que

t 2 + 2 t + 1 = t + 1 2

Então substituindo em r ' t

r ' t = t + 1 2

Simplificando...

r ' t = t + 1

Legal, não é? 😉

Passo 4

Por fim, montando a integral C lembrando que t 0 = 0 e t f = 4 , então

C = ∫ t 0 t f r ' t d t → C = ∫ 0 4 t + 1 d t

Integrando pelo método de integração polinomial, somando 1 no expoente de t e o dividindo pelo resultado dessa soma...

∫ t + 1 d t = t 1 + 1 1 + 1 + 1 t = t 2 2 + t

Aplicando os limites de integração, vamos obter

∫ 0 4 t + 1 d t = 4 2 2 + 4 - 0 2 2 + 0

C = ∫ 0 4 t + 1 d t = 12

C = 12

Portanto, o comprimento da curva parametrizada é dado por C , ou seja, é igual a 12 unidades!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

C = 12

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