UFCG. Cálculo Diferencial e Integral II. Listas de Cálculo 2 UAMat. Lista 3. Questão 15d.
15 - Determine o comprimento das curvas parametrizadas:
d) , , .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
O que temos que fazer nessa questão é obter o comprimento da curva parametrizada por e em que varia entre e .
Tem ideia do que fazemos para calcular esse comprimento?? 🤔🤔
De maneira geral, o comprimento de uma curva parametrizada por uma variável, temos a seguinte fórmula.
Ou seja, chamamos o vetor como o vetor paramétrico da curva, então calculando o módulo da sua derivada e aplicando na integral limitada pelo intervalo de variação de ... obtemos o comprimento da curva!
Bora ver como fica no nosso caso? 😁
Passo 2
Se e , então o vetor é dado por
Derivando o vetor para obter , temos
A derivada de pode ser obtida facilmente pelo método de derivação polinomial
Já a derivada de é obtida pela regra da cadeia, lembra dela? A regra da cadeia é aplicada em funções compostas e consiste em calcular a derivada da função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora. Ou seja, fazendo como (sendo a função interna) ...
Pelo método de derivação polinomial... temos
Substituindo na derivada de ...
Como , então
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Substituindo esses resultados em , temos
Lembra como calculamos o modulo de um vetor? A ideia aqui é a mesma, ou seja
Podemos simplificar o polinômio completando quadrados. Podemos dizer que
Então substituindo em
Simplificando...
Legal, não é? 😉
Passo 4
Por fim, montando a integral lembrando que e , então
Integrando pelo método de integração polinomial, somando no expoente de e o dividindo pelo resultado dessa soma...
Aplicando os limites de integração, vamos obter
Portanto, o comprimento da curva parametrizada é dado por , ou seja, é igual a unidades!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
