UnB; Cálculo 1; Lista 15 – Frações Parciais e Comprimento de Arco; Exercício 1b
1) Se é uma função derivável então o comprimento da curva determinada pelo gráfico de é dado pela integral . Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(b)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse exercício aqui já começa soltando um monte de informações que eu tenho certeza que te fizeram pensar “nossa, o que que é isso?”. Mas calma, vamos explicar cada coisinha que está ali e seguir a partir daí!!
O enunciado começa dizendo que temos uma função derivável . Tá, mas o que isso significa?? Essa expressãozinha só assusta, mas na verdade é bem simples. Ela está dizendo pra nós que temos uma função que é com toda certeza derivável, e que o intervalo dessa função está entre os valores de e e que estes valores são reais.
Tá, a primeira parte já foi desvendada!! Depois disso, o enunciado afirma pra gente que o comprimento de uma curva determinada pelo gráfico de é dado por uma expressãozinha: . Isso aqui é exatamente o que precisamos pra encontrarmos a nossa resposta!! Basta encontrarmos esse a partir da função que nos foi dada!!
Mas como vamos fazer isso? A resposta é: por partes!
Então, analisando melhor essa formulinha de comprimento , vemos que dentro da raiz quadrada temos a derivada da função dada no enunciado (), elevada ao quadrado.
Vamos começar por isso então!!
Passo 2
A função que precisamos derivar é a que foi dada no enunciado:
Esse significa que o pertence ao intervalo . Mas não precisamos disso agora então deixa essa informação guardadinha.
Para derivar a função, precisaremos usar algumas regrinhas que são padrão quando derivamos funções. Mas antes, vamos observar que aquele ali é uma constante, e, portanto, pode ir para fora da derivada, então vamos ter que:
Para derivarmos essa função, precisamos usar a regra da cadeia, já que temos uma função composta! Nós temos que a regra da cadeia se dá pelo seguinte:
Meio esquisito né? Mas calma que ela é mais simples do que parece!
Vamos começar determinando quem são os meus valores de e de :
Então, só pra vocês entenderem melhor:
Fazendo sua derivada, vamos primeiro derivar e depois :
Agora, vamos fazer :
Então, substituindo esses valores na fórmula da regra da cadeia ali em cima, vamos ter que:
Pronto! Temos a derivada da função dada no enunciado.
Bora continuar então!
Passo 3
Antes de irmos para o nosso próximo passo, vou reescrever a nossa fórmula do comprimento com a derivada encontrada no passo 2:
Já temos quase tudo que precisamos! Falta agora definirmos o valor dos limites de integração e ! Mas como vamos fazer isso? Temos que fazer mais conta?????
Nãoo! Não precisamos de mais contas!
Aqui vamos lembrar daquilo que falamos no passo 2. O enunciado definiu pra gente um intervalo para x, onde .
Prontinho galera! Tão aí os nossos limites de integração!
Vamos reescrever então:
Passo 4
Por fim, para resolvermos a integral acima, vamos primeiramente aplicar a regra do produto a :
Em seguida, vamos multiplicar os expoentes:
Simplificando e aplicando propriedades distributivas na expressão acima, vamos ter:
Se observarmos bem a expressão acima, observamos que podemos reescrevê-la em uma forma fatorada:
Tirando a raiz, vamos ter que:
Agora é só aplicarmos a integral em cada um dos termos e vamos ter:
Ufa!! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?