Origem do Exercício
Calcule o comprimento de arco da função , sendo .
Passo 1
Quando queremos calcular um comprimento de arco, nosso objetivo final é montar essa integral aqui:
Ok? Vamos integrar o módulo do vetor velocidade dessa curva.
Passo 2
Como fazemos para encontrar o vetor velocidade? Precisamos derivar :
E lembre-se: para derivar um vetor, precisamos derivar cada uma das componentes:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas (precisaremos da regra da cadeia nas duas últimas):
Então nosso vetor velocidade é:
Passo 3
Agora precisamos achar o módulo desse vetor. Lembrando que esse módulo segue essa fórmula aqui:
Aplicando isso no nosso vetor velocidade:
Passo 4
Agora já podemos substituir na integral para obter o comprimento de arco:
Lembrando que varia entre e .
Como a integral indefinida dessa função é :
E esse é o comprimento do arco.
Resposta
O comprimento do arco é .