Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

Ver Teoria
Exercício 2112345678910111213141516171819202223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768

Enunciado

Seja C a curva parametrizada por

r → t = 4 s e n   t ,   3 t ,   - 4 cos ⁡ t ,     π ≤ t ≤ 2 π .

  1. Reparametriza a curva C em relação ao comprimento de arco.
  2. Determine o comprimento da curva C .
  3. Seja F → x , y , z = 0 , y , 0 . Determine

∫ C F → . d r →

Passo 1

  1. Para reparametrizar a curva C   em relação ao comprimento do arco ( r → ( s ) ) fazemos:

    2. s = ∫ a 0 t r → ' t d t

    Onde a 0 assume o menor valor de t.

    Ficamos então com:

    r ' → t = 4 cos ⁡ t 2 + 3 2 + 4   s e n   t 2

    = 16 cos 2 ⁡ t + 9 + 16   s e n 2   t

    25 = 5

    Montando a integral então:

    s = ∫ a 0 t r → ' t d t =   ∫ π t 5   d t = 5 ( t - π )

    Isolando t:

    s = 5 t - π → s 5 + π = t

    Passo 2

    Vamos agora estudar os novos intervalos. Antes tínhamos π ≤ t ≤ 2 π

    Entaõ, se s = 5 t - π

    s = 5 π - π → s = 0  

    s = 5 2 π - π → s = 5 π

    Então:

    0 ≤ s ≤ 5 π

    Passo 3

    Com isso, a reparametrização pelo comprimento de arco será:

    r → t = 4 s e n   t ,   3 t ,   - 4 cos ⁡ t → r s = 4   s e n   s 5 + π ,   3 s 5 + π ,   - 4 cos ⁡ s 5 + π

    Passo 4

  2. Para determinar o comprimento do arco, tendo na mão o valor de s , basta substituir t pelo valor máximo da variação de t .

    3. s = 5 t - π

    s = 5 2 π - π = 5 π

    Ou também pelo jeito clássico:

    ∫ π 2 π r → ' t d t = ∫ π 2 π 5 d t = 5 2 π - π = 5 π

    Passo 5

  3. Determinando

∫ C F → . d r →

d r → = r ' t d t

r → t = 4 s e n   t ,   3 t ,   - 4 cos ⁡ t →   r → ' ( t ) = ( 4 cos ⁡ t ,   3 ,   4   s e n   t )  

O campo da questão é F → x , y , z = 0 , y , 0 .   Então ficamos com F → = 0 , 3 t , 0 , uma vez que r → t = 4 s e n   t ,   3 t ,   - 4 cos ⁡ t

∫ π 2 π 0,3 t , 0 . 4 cos ⁡ t ,   3 ,   4   s e n   t d t

∫ π 2 π 0 . 4 cos ⁡ t + 3 t   .   3 + 0 . 4   s e n   t d t

9 ∫ π 2 π t   d t = 27 2 π 2

Resposta

a   4   s e n   s 5 + π ,   3 s 5 + π ,   - 4 cos ⁡ s 5 + π ,     0 ≤ s ≤ 5 π

b   5 π

c 27 2 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Trace a epitrocoide com equações x = 11 cos ⁡ t - 4 cos ⁡ 11 t 2 y = 11 sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 11 t 2 Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?b) Use seu SCA para calcular o comprimento apr
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do círculo. Se o círculo tiver raio r e
Calcule o comprimento exato da curva polar: r = 2 c o s θ 0 ≤ θ ≤ π
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som usam um padrão de captação em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiência. Suponha que o microfone esteja colocado a 4m da frente