UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 1, Questão 7a
Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição quando varia em um intervalo de tempo nos itens abaixo. Compare com o comprimento da curva (note que a curva pode ser fechada).
a) , , para
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar a distância percorrida por uma partícula e comparar com o comprimento da curva percorrida por ela. Mas qual a diferença?
Bom, a curva completa é percorrida quando vai de até , pois a curva é o segmento que se encontra no primeiro quadrante (desde que ), e este segmento é completamente percorrido quando vai de até .
Já a distância percorrida pela partícula, se dá quando vai de a , então nossa distância será:
Então, é essa integral que nós vamos calcular mudando apenas os limites de integração.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a distância percorrida pela partícula:
Derivando temos e . Assim,
Reescrevendo usando identidade trigonométrica:
Integrando e eliminando os valores absolutos, temos:
Agora o que muda para o comprimento da curva é apenas o limite de integração, vamos ter:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉