UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - UAMat - Lista 3, Questão 16b.
16 - Determine o comprimento das curvas:
b) de a .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, queremos obter o comprimento da curva dada por em que varia de a . Nós sabemos como calcular o comprimento de uma curva parametrizada, então o que temos que fazer é parametrizar essa curva e obter o módulo da derivada do vetor para aplicar na formulinha do comprimento da curva parametrizada!
Em que e são os limites de da variação de .
Lembra como fazemos a parametrização da curva?
Genericamente, o vetor é dado por .
Se chamarmos , , logo
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 2
Agora vamos derivar para obter
Pelo método de derivação polinomial, temos que
Substituindo esses resultados em ...
O próximo passo é calcular o modulo desse vetor, que obtido como um vetor qualquer, lembra?
Como e , então
Simplificando...
Sacou? 😎
Passo 3
Por fim, aplicando o que descobrimos na formulinha de , sabendo que e são e , respectivamente, já que ...
Tirando a constante para fora da integral, temos
Para obter essa integral, vamos usar uma substituição de variáveis, fazendo
Para substituir , derivamos com relação a pelo método de derivação polinomial
Isolando em um lado...
E por último, temos que substituir os limites de integração para nossa nova variável
No limite superior, temos , mas como
No limite superior, temos , logo
Substituindo por , os novos limites de integração e a função de integração, temos
Pelo método de integração polinomial, a integral de é
Aplicando os limites de integração...
Substituindo em , temos
Colocando em evidência em ...
Portanto, vemos que o comprimento da curva que estávamos interessados é de unidades!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
