Uma curva é parametrizada por , . Marque a alternativa correspondente ao comprimento da curva e sua projeção no plano , respectivamente:
- e semicircunferência de raio .
- e semicircunferência de raio .
- e semicircunferência de raio .
- e semicircunferência de raio .
- e semicircunferência de raio .
Passo 1
A questão pede para gente calcular o comprimento de arco da curva , e para isso a gente tem uma fórmula: .
Então vamos substituir os valores e usar ela.
Ela também pede a projeção dessa curva no plano . Vamos pensar: a gente tem uma curva com componentes e e querer saber essa projeção é a mesma coisa que querer saber como ela está sendo descrita nas componentes e , ignorando o . Então o que a gente vai fazer é olhar só para e para ver que curva está sendo descrita por eles.
Passo 2
Para achar o comprimento do arco a gente precisa saber o inicial e o final dessa curva. O enunciado já dá para a gente , assim e .
Passo 3
Agora a gente precisa calcular o vetor tangente à curva e tirar o módulo dele.
Derivando :
Calculando o módulo:
Passo 4
Substituindo esses valores na nossa fórmula:
Passo 5
Agora vamos olhar para e e identificar que curva eles descrevem no plano .:
Isso é a parametrização de uma circunferência de raio e centro (0,0). Como , temos só é a metade dessa curva, logo uma semicircunferência.
Portanto, nossa alternativa certa é a letra e.
Resposta
Letra e.