Seja uma curva com parametrização e supondo que as coordenadas satisfaçam as equações:
a) Encontre fórmulas explícitas para .
b) Encontre uma parametrização para a reta tangente à curva no ponto
c)Calcule o comprimento do trecho da curva obtido restringindo-se o parâmetro ao intervalo
Passo 1
a) Bom, pra começar essa letra a, vamos iniciar resolvendo essa equação diferencial. Observa que nós temos umas condições iniciais pra podermos descobrir o valor das constantes.
Com isso temos então como solução geral:
Passo 2
Com a condição inicial temos:
Bom, até agora temos então:
Não sabemos ainda o valor de . Para nossa sorte o enunciado ainda nos passou algumas outras condições. Uma delas é:
Temos ainda que
Oba! Já temos agora então o valor das constantes . Nosso x(t) fica então:
Enquanto o y(t) vale:
Passo 3
Para descobrirmos então vamos partir de:
Pelo enunciado temos
Então nossa curva parametrizada fica descrita como:
Passo 4
b) Para encontrarmos a parametrização da reta tangente no ponto precisamos lembra que:
Primeiramente vamos precisar então descobrir qual valor desse instante , ou seja, o momento em que a função tem como coordenada o ponto
Logo então temos:
Resolvendo esse sistema vemos que único valor possível para t que satisfaz todas as igualdades é .
Para encontrar então a reta tangente precisamos agora de .
Podemos então finalmente montar nossa reta tangente:
Passo 5
c) Para calcular a área vamos aplicar uma introdução da integral de linha que você vai estudar mais profundamente em Cálculo 3. Mas para resolver essa questão basta saber que:
Onde é o comprimento que procuramos.
Lembra que certo? Então colocando em evidencia o temos: