Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva de equação dada durante o intervalo de tempo especificado:

σ(t) = (t, 3t^2, 6t^3), 0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

L = ∫ t 1 t 2 σ ( t )   d t

Encontrar t 1 e t 2 :

O problema já forneceu os valores de t 1 e t 2 .

Portanto:

t 1 = 0 t 2 = 2

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' t = 1 ,   6 t , 18 t 2

Passo 3

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' ( t ) = 1 2 + 6 t 2 + 18 t 2 2

σ ' ( t ) = 18 2 t 4 + 36 t 2 + 1

Note que essa expressão tá com cheiro de quadrado perfeito: a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = 18 2 t 4 2 a b = 36 t 2 b 2 = 1

Resolvendo esse sistema, encontramos que:

a = 18 t 2   b = 1

Logo:

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

⇒ 18 2 t 4 + 36 t 2 + 1 = 18 t 2 + 1 2

Substituindo acima temos que:

σ ' ( t ) = 18 t 2 + 1 2

σ ' ( t ) = 18 t 2 + 1

Passo 4

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

⇒ L = ∫ 0 2 18 t 2 + 1   d t

Calculemos então a integral indefinida:

∫ 18 t 2 + 1   d t = 6 t 3 + t

Substituindo na integral definida:

L = 6 2 3 + 2 - 6 0 3 + 0

⇒ L = 50 - 0

⇒ L = 50

Resposta

L = 50

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