Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo da curva de equação dada durante o intervalo de tempo especificado:

σ t = t ,   3 t 2 ,   6 t 3 ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

L = ∫ t 1 t 2 σ ( t )   d t

Encontrar t 1 e t 2 :

O problema já forneceu os valores de t 1 e t 2 .

Portanto:

t 1 = 0 t 2 = 2

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' t = 1 ,   6 t , 18 t 2

Passo 3

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' ( t ) = 1 2 + 6 t 2 + 18 t 2 2

σ ' ( t ) = 18 2 t 4 + 36 t 2 + 1

Note que essa expressão tá com cheiro de quadrado perfeito: a 2 + 2 a b + b 2

Comparando termo a termo:

a 2 = 18 2 t 4 2 a b = 36 t 2 b 2 = 1

Resolvendo esse sistema, encontramos que:

a = 18 t 2   b = 1

Logo:

a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

⇒ 18 2 t 4 + 36 t 2 + 1 = 18 t 2 + 1 2

Substituindo acima temos que:

σ ' ( t ) = 18 t 2 + 1 2

σ ' ( t ) = 18 t 2 + 1

Passo 4

Substituir em L :

L = ∫ t 1 t 2 σ ' ( t )   d t

⇒ L = ∫ 0 2 18 t 2 + 1   d t

Calculemos então a integral indefinida:

∫ 18 t 2 + 1   d t = 6 t 3 + t

Substituindo na integral definida:

L = 6 2 3 + 2 - 6 0 3 + 0

⇒ L = 50 - 0

⇒ L = 50

Resposta

L = 50

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Trace a epitrocoide com equações x = 11 cos ⁡ t - 4 cos ⁡ 11 t / 2 y = 11 sen ⁡ t - 4 sen ⁡ 11 t / 2 Qual intervalo do parâmetro fornece a curva completa?(b) Use seu SCA para calcular o compriment
Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto P no final do barbante é chamada involuta do círculo. Se o círculo tiver raio r e
51-54. Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.53. r =
Ao gravar apresentações ao vivo, os engenheiros de som usam um padrão de captação em forma de cardioide, pois ele suprime o barulho da audiência. Suponha que o microfone esteja colocado a 4m da frente
3. Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o Exerc. 2)b) ρ = 1 + cos ⁡ θ , θ ∈ 0 , π 4